Funzione inversa di una funzione integrale nel punto
Buongiorno,
mi sono imbattuto nel seguente esercizio e, non avendo a disposizione le soluzioni, volevo sapere se il mio procedimento fosse giusto.
Sia $F(x)=\int_{1}^{x^3-x^2+x} \root()(1+ln(1+t^2)) dt$, dominio $ x in RR$.
Verificare che è invertibile, e detta $G(y)$ l'inversa, calcolare $G'(0)$.
Per prima cosa, per verificare se la funzione è invertibile, mi sono calcolato la derivata prima, e ne ho studiato il segno.
$F'(x)$ =$root()(1+ln(1+(x^3-x^2+x)^2)) (3x^2-2x+1)$
Studiando il segno, noto che il termine sotto la radice quadrata è sicuramente sempre maggiore di zero, così come il termine polinomiale (poichè l'equazione associata ha delta negativo). Perciò, nel suo dominio, la funzione risulta monotona strettamente crescente, e dunque invertibile.
A questo punto, mi sono andato a calcolare per quale valore di x $F(x)=0$, ovvero:
$int_{1}^{x^3-x^2+x} \root()(1+ln(1+t^2)) dt =0$
Essendo la funzione monotona crescente, mi aspetto che ci sia un solo valore di x per il quale tale equazione è risolta, e questo valore si ottiene quando gli estremi di integrazione coincidono.
$int_{1}^{x^3-x^2+x} \root()(1+ln(1+t^2)) dt =0$ $\Leftrightarrow$ $x^3-x^2+x=1$
$x^3-x^2+x-1=0$ $\Leftrightarrow$ $x=1$
Adesso mi vado a calcolare $F'(1)=2 root()(1+ln2)$
Per la formula di derivazione della funzione inversa:
$G'(0)=1/(F'(1))=1/(2 root()(1+ln2))$
mi sono imbattuto nel seguente esercizio e, non avendo a disposizione le soluzioni, volevo sapere se il mio procedimento fosse giusto.
Sia $F(x)=\int_{1}^{x^3-x^2+x} \root()(1+ln(1+t^2)) dt$, dominio $ x in RR$.
Verificare che è invertibile, e detta $G(y)$ l'inversa, calcolare $G'(0)$.
Per prima cosa, per verificare se la funzione è invertibile, mi sono calcolato la derivata prima, e ne ho studiato il segno.
$F'(x)$ =$root()(1+ln(1+(x^3-x^2+x)^2)) (3x^2-2x+1)$
Studiando il segno, noto che il termine sotto la radice quadrata è sicuramente sempre maggiore di zero, così come il termine polinomiale (poichè l'equazione associata ha delta negativo). Perciò, nel suo dominio, la funzione risulta monotona strettamente crescente, e dunque invertibile.
A questo punto, mi sono andato a calcolare per quale valore di x $F(x)=0$, ovvero:
$int_{1}^{x^3-x^2+x} \root()(1+ln(1+t^2)) dt =0$
Essendo la funzione monotona crescente, mi aspetto che ci sia un solo valore di x per il quale tale equazione è risolta, e questo valore si ottiene quando gli estremi di integrazione coincidono.
$int_{1}^{x^3-x^2+x} \root()(1+ln(1+t^2)) dt =0$ $\Leftrightarrow$ $x^3-x^2+x=1$
$x^3-x^2+x-1=0$ $\Leftrightarrow$ $x=1$
Adesso mi vado a calcolare $F'(1)=2 root()(1+ln2)$
Per la formula di derivazione della funzione inversa:
$G'(0)=1/(F'(1))=1/(2 root()(1+ln2))$
Risposte
Ciao BuioPesto,
Mi pare corretto.
Mi pare corretto.
Perfetto! Grazie mille!
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