Funzione inversa di una funzione $f^-1$
Come fate voi a dimostrare che l'inversa di una funzione $f^-1$ già inversa di una funzione invertibile $f$, sia a sua volta invertibile, ed abbia come inversa proprio $f$?
Risposte
non è da dimostrare secondo me.. Se $f$ ammette inversa,vuol dire che è biunivoca. E quindi lo è anche $f^-1$ che composta con $f$ da l'identità.
No in effetti è una cosa da notare. Io riformulerei un po' la domanda però.
Partiamo dal presupposto che si può parlare, in generale, di inverse destre e sinistre: se infatti abbiamo una $f:X\toY$ tale che esiste una $g:Y\toX$ che verifica $gcircf="id"$ oppure $fcircg="id"$ allora diciamo che $f$ è invertibile a sinistra o a destra rispettivamente. (Si dimostra che: ($f$ invertibile a sinistra)$iff$($f$ è iniettiva), ($f$ invertibile a destra)$iff$($f$ suriettiva) ).
In generale, anche se $f$ è una funzione $X\toX$ non è detto che l'invertibilità a destra o a sinistra implichi l'invertibilità nei due sensi (basta pensare a una funzione iniettiva e non suriettiva, ad esempio. Questa è invertibile a sinistra ma non a destra e quindi non è invertibile nei due sensi). Se però $f$ è biiettiva, allora è invertibile nei due sensi e l'inversa destra è uguale all'inversa sinistra. La dimostrazione, molto semplice, è una conseguenza della proprietà associativa della composizione e ce la ritroveremo nello studio dei gruppi: siano $g, h$ le inverse destra e sinistra rispettivamente della applicazione biiettiva $f:X\toX$. Allora $h=hcircfcircg=(hcircf)circg="id"circg=g$. Questo significa che, posto $f^(-1)=h$ o $f^(-1)=g$ che è la stessa cosa, risulta $f^(-1)circf=fcircf^(-1)="id"$.
Partiamo dal presupposto che si può parlare, in generale, di inverse destre e sinistre: se infatti abbiamo una $f:X\toY$ tale che esiste una $g:Y\toX$ che verifica $gcircf="id"$ oppure $fcircg="id"$ allora diciamo che $f$ è invertibile a sinistra o a destra rispettivamente. (Si dimostra che: ($f$ invertibile a sinistra)$iff$($f$ è iniettiva), ($f$ invertibile a destra)$iff$($f$ suriettiva) ).
In generale, anche se $f$ è una funzione $X\toX$ non è detto che l'invertibilità a destra o a sinistra implichi l'invertibilità nei due sensi (basta pensare a una funzione iniettiva e non suriettiva, ad esempio. Questa è invertibile a sinistra ma non a destra e quindi non è invertibile nei due sensi). Se però $f$ è biiettiva, allora è invertibile nei due sensi e l'inversa destra è uguale all'inversa sinistra. La dimostrazione, molto semplice, è una conseguenza della proprietà associativa della composizione e ce la ritroveremo nello studio dei gruppi: siano $g, h$ le inverse destra e sinistra rispettivamente della applicazione biiettiva $f:X\toX$. Allora $h=hcircfcircg=(hcircf)circg="id"circg=g$. Questo significa che, posto $f^(-1)=h$ o $f^(-1)=g$ che è la stessa cosa, risulta $f^(-1)circf=fcircf^(-1)="id"$.
E' chiaro che tutto dipende da come viene definita la funzione inversa (che indicheremo con $f^-1$ di una funzione invertibile $f$, nonchè dalle conoscenze pregresse che si hanno (io non conosco i concetti di "invertibilità a destra e a sinistra" e quindi non vorrei utilizzarli: per capire meglio cosa siano le funzioni inverse, preferirei utilizzare per questa dimostrazione notizie più elementari).
Io parto dalla definizione secondo cui una funzione $f: X \to Y$, invertibile, ha come inversa la funzione $f^-1$ tale che:
$f^-1 : f(X) \to {"insieme di tutte le soluzioni dell'equazione in incognita x": f(x)=\bar y, AA \bar y in f(X)}$
Vi farò vedere adesso come provo a dimostrare i due concetti, e da questa dimostrazione, che non riesco proprio a padroneggiare (diventa sfuggevole, incerta, ogni volta che provo ricominciando da capo), potrete eventualmente venirmi incontro
1) Dimostrare che $f^-1$ è invertibile.
Bisogna dimostrare che $ AA f(x)', f(x)'' in f(X), "con" f(x)' != f(x)'', f^-1(f(x)')!=f^-1(f(x)'')$.
Sappiamo da una proprietà che una funzione $f : X \to Y$ è invertibile se e solo se ogni equazione $f(x)= y$ sia univocamente risolubile.
A questo punto basta, per dimostrare che sia vera l'affermazione di sopra appena enunciata, stabilire che $f^-1(y)=\bar x, AA y in f(X), AA \bar x "appartenente al codominio di" f^-1$, abbia una sola soluzione.
Provo quindi ad andare in questa direzione. Anche se il mio discorso diventa troppo contorto per essere facilmente padroneggiabile.
Dopodichè dovrei dimostrare che l'inversa di $f^-1$ sia proprio $f$. Questo scaturirebbe sempre da una discussione dell'equazione $f^-1(y)=\bar x, AA y in f(X), AA \bar x "appartenente al codominio di" f^-1$, anche se dovrei prima dimostrare il primo punto per dimostrare anche il secondo.
Vorrei procedere in tale direzione non tanto per complicarmi la vita, come potrebbe pensare qualcuno. Essendo all'inizio dello studio di un importante metodo, vorrei procedere utilizzando man mano le nozioni che acquisisco, così da formare una rete che si intreccia progressivamente. Se poteste aiutarmi, ve ne sarei grato.
Io parto dalla definizione secondo cui una funzione $f: X \to Y$, invertibile, ha come inversa la funzione $f^-1$ tale che:
$f^-1 : f(X) \to {"insieme di tutte le soluzioni dell'equazione in incognita x": f(x)=\bar y, AA \bar y in f(X)}$
Vi farò vedere adesso come provo a dimostrare i due concetti, e da questa dimostrazione, che non riesco proprio a padroneggiare (diventa sfuggevole, incerta, ogni volta che provo ricominciando da capo), potrete eventualmente venirmi incontro
1) Dimostrare che $f^-1$ è invertibile.
Bisogna dimostrare che $ AA f(x)', f(x)'' in f(X), "con" f(x)' != f(x)'', f^-1(f(x)')!=f^-1(f(x)'')$.
Sappiamo da una proprietà che una funzione $f : X \to Y$ è invertibile se e solo se ogni equazione $f(x)= y$ sia univocamente risolubile.
A questo punto basta, per dimostrare che sia vera l'affermazione di sopra appena enunciata, stabilire che $f^-1(y)=\bar x, AA y in f(X), AA \bar x "appartenente al codominio di" f^-1$, abbia una sola soluzione.
Provo quindi ad andare in questa direzione. Anche se il mio discorso diventa troppo contorto per essere facilmente padroneggiabile.
Dopodichè dovrei dimostrare che l'inversa di $f^-1$ sia proprio $f$. Questo scaturirebbe sempre da una discussione dell'equazione $f^-1(y)=\bar x, AA y in f(X), AA \bar x "appartenente al codominio di" f^-1$, anche se dovrei prima dimostrare il primo punto per dimostrare anche il secondo.
Vorrei procedere in tale direzione non tanto per complicarmi la vita, come potrebbe pensare qualcuno. Essendo all'inizio dello studio di un importante metodo, vorrei procedere utilizzando man mano le nozioni che acquisisco, così da formare una rete che si intreccia progressivamente. Se poteste aiutarmi, ve ne sarei grato.
Gurda che però per una funzione invertibile $f$ di dominio $X$ e codominio $Y$ accade che la sua inversa $f^(-1)$ ha dominio $Y$ e codominio $X$. Questo per dire che la tua impostazione (i.e. la tua definizione di inversa) mi pare un poco troppo artificiosa.
Se si vuole essere logicamente ineccepibili bisognerebbe ricordare che le funzioni sono insiemi di coppie ordinate tali che
$(x,y_1) in f wedge (x,y_2) in f Rightarrow y_1=y_2$.
Allora si definisce relazione inversa di $f$ l'insieme $f^(-1)={(y,x)|(x,y) in f}$ [andrebbe dimostrato che $f^(-1)$ così definita è effettivamente un insieme!]
Si dice che la funzione $f$ è invertibile se la relazione inversa $f^(-1)$ è una funzione.
Questa definizione, anglosassone, non coincide esattamente col nostri concetto comune di funzione invertibile, bensì con quello di funzione iniettiva.
$(x,y_1) in f wedge (x,y_2) in f Rightarrow y_1=y_2$.
Allora si definisce relazione inversa di $f$ l'insieme $f^(-1)={(y,x)|(x,y) in f}$ [andrebbe dimostrato che $f^(-1)$ così definita è effettivamente un insieme!]
Si dice che la funzione $f$ è invertibile se la relazione inversa $f^(-1)$ è una funzione.
Questa definizione, anglosassone, non coincide esattamente col nostri concetto comune di funzione invertibile, bensì con quello di funzione iniettiva.
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