Funzione Inversa: come fare?
Buongiorno a tutti, sto provando a disegnare e trovare le espressioni analitiche di alcune funzioni inverse, ve ne propongo un esempio:
$y=2lnsqrt(x-1)$
Per ricavare l'inversa dovrei "liberare" la x dal logaritmo e dalla radice.
$y/2=lnsqrt(x-1)$
è necessario imporre:
$x-1>=0$ cioè $x>=1$ ed anche
$x$ diverso da $1$
Proseguendo nel calcolo si ottiene:
$e^y/2=sqrt(x-1)$
$e^y=x-1$
$x=e^y+1$
La funzione inversa risulta essere:
$y=e^x+1$
Andando a fare il grafico però ottengo che la reale funzione inversa è quella che si ottiene semplicemente andando a sostituire la x alla y e viceversa nell'espressione iniziale. cioè $x=2lnsqrt(y-1)$
come mai?
$y=2lnsqrt(x-1)$
Per ricavare l'inversa dovrei "liberare" la x dal logaritmo e dalla radice.
$y/2=lnsqrt(x-1)$
è necessario imporre:
$x-1>=0$ cioè $x>=1$ ed anche
$x$ diverso da $1$
Proseguendo nel calcolo si ottiene:
$e^y/2=sqrt(x-1)$
$e^y=x-1$
$x=e^y+1$
La funzione inversa risulta essere:
$y=e^x+1$
Andando a fare il grafico però ottengo che la reale funzione inversa è quella che si ottiene semplicemente andando a sostituire la x alla y e viceversa nell'espressione iniziale. cioè $x=2lnsqrt(y-1)$
come mai?
Risposte
Puoi procedere in due modi:
1° modo
$[y=2lnsqrt(x-1)] rarr [y=ln(x-1)] rarr [e^y=x-1] rarr [x=e^y+1]$
$[x=e^y+1]$ ha la stessa rappresentazione grafica di $[y=2lnsqrt(x-1)]$. Invertendo le due variabili, ottieni la funzione inversa $[y=e^x+1]$, quindi una diversa rappresentazione grafica.
2° modo
$[x=2lnsqrt(y-1)]$ è immediatamente la funzione inversa, quindi, una diversa rappresentazione grafica. Ora, si tratta di esplicitare la $[y]$:
$[x=2lnsqrt(y-1)] rarr [x=ln(y-1)] rarr [e^x=y-1] rarr [y=e^x+1]$
1° modo
$[y=2lnsqrt(x-1)] rarr [y=ln(x-1)] rarr [e^y=x-1] rarr [x=e^y+1]$
$[x=e^y+1]$ ha la stessa rappresentazione grafica di $[y=2lnsqrt(x-1)]$. Invertendo le due variabili, ottieni la funzione inversa $[y=e^x+1]$, quindi una diversa rappresentazione grafica.
2° modo
$[x=2lnsqrt(y-1)]$ è immediatamente la funzione inversa, quindi, una diversa rappresentazione grafica. Ora, si tratta di esplicitare la $[y]$:
$[x=2lnsqrt(y-1)] rarr [x=ln(y-1)] rarr [e^x=y-1] rarr [y=e^x+1]$
ma graficamente $y=e^x+1$ non è la simmetrica della funzione rispetto ad y=x, almeno secondo il mio programma
"Flamber":
ma graficamente $y=e^x+1$ non è la simmetrica della funzione rispetto ad y=x, almeno secondo il mio programma
Certamente. In ogni modo, $[x=2lnsqrt(y-1)]$ e $[y=e^x+1]$ devono avere lo stesso grafico. Se il programma le rappresenta diversamente, è senz'altro dovuto agli errori che inevitabilmente si presentano nell'ambito dell'aritmetica finita, quella utilizzata dalla macchina per intenderci.
Non sarà mica che il programma intende con $log$ il logaritmo decimale anziché quello neperiano? Prova con $ln$ al posto di $log$ ...
"Palliit":
Non sarà mica che il programma intende con $log$ il logaritmo decimale anziché quello neperiano? Prova con $ln$ al posto di $log$ ...
In questo caso, il motivo sarebbe ancora più semplice.
In effetti, considerando l'entità dell'errore, propendo per quest'ultima ipotesi.
Ecco l'errore! il problema è che lavorando con più programmi ognuno con un linguaggio diverso, capita di fare confusione. Grazie per l'aiuto 
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