Funzione inversa!!!
salve a tutti avendo la seguente funzione si chiede di calcolare l'inversa.
$f(x)$=$x^3$+$x$
ovviamente dopo aver calcolato se esiste l'inversa....
io ho controllato sia che la funzione è monotona sia che è invertibile....però non riesco proprio a calcolarla.....qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come si fa?
$f(x)$=$x^3$+$x$
ovviamente dopo aver calcolato se esiste l'inversa....
io ho controllato sia che la funzione è monotona sia che è invertibile....però non riesco proprio a calcolarla.....qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come si fa?
Risposte
non so proprio da dove comiciare per svolgerla...
Dovresti cercare di risolvere $y=x^3+x$ rispetto alla x 
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia invertibile è la sua bigettività. In altre parole la funzione è invertibile se il suo grafico prende in considerazione tutti i valori di $x$ che hanno solo un'immagine $f(x)$. La funzione che hai postato tu è invertibile perché il suo grafico è quello di una funzione dispari, quindi $\forallx\in\mathbb{R}$ avremo una e una sola immagine $f(x)$ (non sono necessarie restrizioni al dominio). Ora puoi procedere con l'algoritmo che ricava la funzione inversa: $x^3+x=x(x^2+1)\rightarrowy=x(x^2+1)\rightarrowx=y/(x^2+1)\rightarrowy=x/(x^2+1)$. La funzione inversa di $f(x)=x^3+x$ è $f(x)=x/(x^2+1)$
Saluti
Saluti
"robe92":Completamente senza senso.
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia invertibile è la sua bigettività. In altre parole la funzione è invertibile se il suo grafico prende in considerazione tutti i valori di $x$ che hanno solo un'immagine $f(x)$. La funzione che hai postato tu è invertibile perché il suo grafico è quello di una funzione dispari, quindi $\forallx\in\mathbb{R}$ avremo una e una sola immagine $f(x)$ (non sono necessarie restrizioni al dominio).
@robe92:
Se capisco bene, stai asserendo che:
\[
f^{-1}(x) =\frac{x}{1+x^2}\; \ldots
\]
Ma la tua \(f^{-1}\) non soddisfa \(f^{-1}(f(x))=x\), quindi c'è qualche problema.
"robe92":
Ora puoi procedere con l'algoritmo che ricava la funzione inversa: $x^3+x=x(x^2+1)\rightarrowy=x(x^2+1)\rightarrowx=y/(x^2+1)\rightarrowy=x/(x^2+1)$. La funzione inversa di $f(x)=x^3+x$ è $f(x)=x/(x^2+1)$
Se capisco bene, stai asserendo che:
\[
f^{-1}(x) =\frac{x}{1+x^2}\; \ldots
\]
Ma la tua \(f^{-1}\) non soddisfa \(f^{-1}(f(x))=x\), quindi c'è qualche problema.
infatti non mi convince questo risultato e il problema è che non ho il risultato dell'esercizio...
comunque è sbagliato affermare che una funzione è invertibile se è continua e monotona???
comunque è sbagliato affermare che una funzione è invertibile se è continua e monotona???
la tua funzione poiche somma di due funzioni monotone strett. cresc. allora è monot. strett. cresc. e quindi invertibile.
La monotonia (stretta!!!) ti garantisce l'iniettività, che è la proprietà più importante nella biettività. Per la suriettività, infatti, basta "tagliare" la parte di codominio in cui la funzione non prende valori, e questo può essere fatto senza perdere informazioni.
Ad esempio: la funzione $e^x$ è iniettiva ma non suriettiva su tutto $\mathbb{R}$ perchè prende valori in $(0,+\infty)$. Poco male: se la definiamo $e^x: \mathbb{R}\to (0,+\infty)$ invece che $e^x: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ abbiamo la suriettività senza problemi. Prendiamo invece la funzione $x^2$: non è iniettiva perché pari. Se la volessimo invertire dovremmo tagliare via uno dei due rami della parabola... una bella perdita!!
Paola
Ad esempio: la funzione $e^x$ è iniettiva ma non suriettiva su tutto $\mathbb{R}$ perchè prende valori in $(0,+\infty)$. Poco male: se la definiamo $e^x: \mathbb{R}\to (0,+\infty)$ invece che $e^x: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ abbiamo la suriettività senza problemi. Prendiamo invece la funzione $x^2$: non è iniettiva perché pari. Se la volessimo invertire dovremmo tagliare via uno dei due rami della parabola... una bella perdita!!
Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo