Funzione inversa
Determinare la funzione inversa di
$x+\sqrt{x^2-x}+\arcsin|x-1|+\arccos|x-1|$
In particolare, non riesco a capire come devo estrapolare la "x" da quegli arcoseni/cosen0i, in modo da trovarmi una funzione del tipo
$f^{-1}(y) = ....$
$x+\sqrt{x^2-x}+\arcsin|x-1|+\arccos|x-1|$
In particolare, non riesco a capire come devo estrapolare la "x" da quegli arcoseni/cosen0i, in modo da trovarmi una funzione del tipo
$f^{-1}(y) = ....$
Risposte
prova a trasformere quell'$arcsin(.)$ in un $arccos(.)$ (o viceversa)
E c ome si fa?!:S Al massimo riesco a trasformarer un sin in un coa
Uh_ a parte come si faccia, scusa -vedo ora di scriverne;
-Ho editato (ach! la febbre: era certo come mi era venuto in mente, ora scrivo)
-Ho editato (ach! la febbre: era certo come mi era venuto in mente, ora scrivo)
Prima di procedere,suggerirei di scrivere le condizioni di esistenza.
Abbiamo una radice quadrata, un arcseno e un arccoseno che ci impongono delle restrizioni:
${\(x^2-x>=0),(-1<=|x-1|<=1),(-1<=|x-1|<=1):} => {\(x(x-1)>=0),(|x-1|<=1):} => {\(x(x-1)>=0),(-1<=x-1<=1):}$
Una volta risolto il sistema di disequazioni, abbiamo le condizioni di esistenza.
Fatto ciò, può essere utile questo: $AA y in [-1,1]$, $arcsin(y)+arccos(y)=pi/2$
(metto in spoiler la dimostrazione)
Abbiamo una radice quadrata, un arcseno e un arccoseno che ci impongono delle restrizioni:
${\(x^2-x>=0),(-1<=|x-1|<=1),(-1<=|x-1|<=1):} => {\(x(x-1)>=0),(|x-1|<=1):} => {\(x(x-1)>=0),(-1<=x-1<=1):}$
Una volta risolto il sistema di disequazioni, abbiamo le condizioni di esistenza.
Fatto ciò, può essere utile questo: $AA y in [-1,1]$, $arcsin(y)+arccos(y)=pi/2$
(metto in spoiler la dimostrazione)
Ah! ecco: lo ha scritto Gi8: esattamente quello (io dicevo
:"trasforma" perchè, appunto, $arccos(z)=\pi/2-arcsin(z)$
:"trasforma" perchè, appunto, $arccos(z)=\pi/2-arcsin(z)$
A questo punto la funzione diventa
$f(x)=pi/2+x+sqrt(x^2-x)$
Francamente, trovarne l'inversa mi sembra un po' difficile.
Spero di sbagliarmi
$f(x)=pi/2+x+sqrt(x^2-x)$
Francamente, trovarne l'inversa mi sembra un po' difficile.
Spero di sbagliarmi
No, perchè?
Stante che, appunto, la funzione è
definita per $-2<=x<=-1$ e $1<=x<=2$,
"porto" $x+\pi/2$ a sinistra, ed elevo al quadrato:
$[1-2(y-\pi/2)]x +(y-\pi/2)^2=0$ ...
Stante che, appunto, la funzione è
definita per $-2<=x<=-1$ e $1<=x<=2$,
"porto" $x+\pi/2$ a sinistra, ed elevo al quadrato:
$[1-2(y-\pi/2)]x +(y-\pi/2)^2=0$ ...
"orazioster":
Stante che, appunto, la funzione è
definita per $-2<=x<=-1$ e $1<=x<=2$
ehm, a me risulta definita per $x=0 vv 1<=x<=2$
interessante proprietà! Da dove si ricava? Intendo dire arcos x + arcsin x = pi/2
"newton_1372":(ehm.. Gi8 ha postato la dimostrazione poco sopra)
interessante proprietà! Da dove si ricava? Intendo dire arcos x + arcsin x = pi/2
"Gi8":
ehm, a me risulta definita per $x=0 vv 1<=x<=2$
Strabilio da quanto ho scritto.hahah! ho davvero la febbre alta, auch! -mi
ero "sognato" una roba con quel valore assoluto
Ragazzi non ci siamo con le condizioni di esistenza. La quantità sotto radice viene $x<=0 vv x>=1$ mentre la disequazione col valore assolito da $0<=x<=2$. Il risultato dovrebbe dunque venire complessivamente $0 \cup [1,2]$...dove li avete presi sti numeri negativi?
Ricapitoliamo. Abbiamo la seguente funzione $x+\sqrt{x^2-x}+\arcsin |x-1|+\arccos |x+1|$
Il dominio a me corrisponde $1<=x<=2 \cup 0$. Però Gi8 sostiene che la funzione ha come dominio $-2<=x<=-1\cup 1<=x<=2$. Volevo sapere dove sbaglio.
RADICE QUADRATA:L'eq. associata del radicando ha come soluzioni 0 e 1. Questo già di per se significa $x<=0\cup x>=1$.
ARCOSIN E ARCOCOS: Deve aversi $-1<=|x-1|<=1$.
$|x-1|>=-1$
Caso $x>=1$
$x-1>=-1\implies x>=0$
Caso $x<1$
$-x+1>=-1\implies x<=2$
La disuguaglianza è dunque verificata per $x>=1\cup x<=2$, cioè per ogni x reale.
$|x-1|<=1$
Caso $x>=1$
$x-1<=1\implies x<=2$
Caso $x<=1$
$-x+1<=1\implies x>=0$
La disuguaglianza è dunque verificata per $1<=x<=2 \cup 0<=x<=1$, cioè per $0<=x<=2$.
A tutto questo, inclusa la condizione di esistenza della radice quadrata, otteniamo che la funzione esiste per
$x=0\cup 1<=x<=2$....
Il dominio a me corrisponde $1<=x<=2 \cup 0$. Però Gi8 sostiene che la funzione ha come dominio $-2<=x<=-1\cup 1<=x<=2$. Volevo sapere dove sbaglio.
RADICE QUADRATA:L'eq. associata del radicando ha come soluzioni 0 e 1. Questo già di per se significa $x<=0\cup x>=1$.
ARCOSIN E ARCOCOS: Deve aversi $-1<=|x-1|<=1$.
$|x-1|>=-1$
Caso $x>=1$
$x-1>=-1\implies x>=0$
Caso $x<1$
$-x+1>=-1\implies x<=2$
La disuguaglianza è dunque verificata per $x>=1\cup x<=2$, cioè per ogni x reale.
$|x-1|<=1$
Caso $x>=1$
$x-1<=1\implies x<=2$
Caso $x<=1$
$-x+1<=1\implies x>=0$
La disuguaglianza è dunque verificata per $1<=x<=2 \cup 0<=x<=1$, cioè per $0<=x<=2$.
A tutto questo, inclusa la condizione di esistenza della radice quadrata, otteniamo che la funzione esiste per
$x=0\cup 1<=x<=2$....
"newton_1372":
Il dominio a me corrisponde $1<=x<=2 \cup 0$. Però Gi8 sostiene che la funzione ha come dominio $-2<=x<=-1\cup 1<=x<=2$. ....
Mai sostenuto ciò. Guarda quello che ho scritto precedentemente e vedrai che ti dò ragione: il dominio è proprio ${0} uu [1,2]$, come dici tu.
Fiuuuuu...
Bastava che riguardassi cio' che è stato scritto prima. A volte basta poco. 
Ciao
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo