Funzione inversa

[hula78]

Mi servirebbe un aiuto con questo quesito:

Data la funzione $x + ln(e+x^2)$ :

(a) dimostrare che è invertibile in $RR$
(b) calcolare la derivata di $f^-1$ nel punto 1

[_Tipper]

La derivata della funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + \ln(e + x^2)$ vale $f'(x) = 1 + \frac{2x}{e + x^2}$ ed è positiva per ogni $x \in \mathbb{R}$. Questo prova che $f$ è monotòna (strettamente) crescente e quindi invertibile in $\mathbb{R}$.

Osservando che $f(0) = 1$ e che $f'(0) = 1$ si ottiene

$D[f^{-1}(1)] = \frac{1}{f'(0)} = 1$

per via della regola di derivazione della funzione inversa.

[hula78]

grazie tipper, però la derivata non mi viene come la tua (sono ancora un novellino )

questi sono i passaggi

$d/dx x + d/dx ln(e+x^2) = 1 + d/dx 1/(e+x^2) = 1 - ((2x)/(e+x^2)^2)

[_Tipper]

Sbagli a fare la derivata del secondo termine. In generale $\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{1}{f(x)} f'(x)$.

[hula78]

"Tipper":Sbagli a fare la derivata del secondo termine. In generale $\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{1}{f(x)} f'(x)$.

Ma è una regola di derivazione ? io ho usato quella della derivata di una funzione reciproca $1/f(x)$ partendo dalla derivata notevole $ln(x) = 1/x$

[hula78]

trovato, derivata di una funzione composta...

[hula78]

Altra domanda, come ottengo la $f^-1$ ? è la x dentro LN che mi mette in difficoltà...