Funzione inversa

[emix0880]

ciao a tutti, qualcuno mi spiegherebbe come trovare lì inversa?

3. Sia f : R → R la funzione f (x) = 2x^7 + x^3 + x + 3. Allora (f −1 ) (3) vale
A 3 B 2
C 1/2 D Nessuno dei precedenti

grazie in anticipo

[_Tipper]

La funzione è iniettiva, perché monotòna crescente. Calcoli $f(3)$ (opzione A), $f(2)$ (opzione B), $f(\frac{1}{2})$ (opzione C). Se una di queste ti dà $3$ allora hai trovato la controimmagine di $3$ tramite $f$, altrimenti la risposta esatta è la D.

Come vedi non c'è bisogno di esplicitare la funzione inversa (non sarebbe poi facilissimo...).

[emix0880]

grazie mille

[Lord K]

In realtà non si può trovare una funzione inversa esplicita espressa con funzioni elementari per equazioni simili, visto che sarebbe come calcolare una radice (delle 7 possibili) di un polinomio di 7° grado!

L'unica quindi è andare per tentativi come giustamente suggerito!

[emix0880]

mi sono accorto di aver tralasciato un carattere fondamentale il " ' ", in quanto la domanda chiedeva (f^-1)' (3) cioè la derivata dell' inversa nel punto 3. quindi per trovare la derivata devo trovare l' equazione inversa?

[Lord K]

Diciamo di no:

$f(x)=2x^7+x^3+x+3$

$d/(dx)f(x)=14x^6+3x^2+1$

$y=f(x)$ ed anche $f^(-1)(y)=x$

Osserviamo che:

$x=f^(-1)(f(x))$

Deriviamo ambo i lati rispetto a $x$:

$1=d/(dx)f^(-1)(f(x))*d/(dx)f(x)$

Per le regole di derivazione di funzione composta!

$d/(dx)f^(-1)(y)=1/(d/(dx)f(x))$

Inoltre da osservare che:

$y=3 rightarrow f(x_0)=3$
$2x_0^7+x_0^3+x_0+3=3$
$x_0(2x_0^6+x_0^2+1)=0$

e quindi $x_0=0$ in quanto $2x_0^6+x_0^2+1>0$ per ogni $x_0$!!!

$d/(dx)f^(-1)(y)|_(y=3)=1/(d/(dx)f(x))|_(x=x_0=0)=1/3$

Non sono sicurissimo, ma in ogni caso dateci una occhiata.