Funzione inversa
ciao a tutti, qualcuno mi spiegherebbe come trovare lì inversa?
3. Sia f : R → R la funzione f (x) = 2x^7 + x^3 + x + 3. Allora (f −1 ) (3) vale
A 3 B 2
C 1/2 D Nessuno dei precedenti
grazie in anticipo
3. Sia f : R → R la funzione f (x) = 2x^7 + x^3 + x + 3. Allora (f −1 ) (3) vale
A 3 B 2
C 1/2 D Nessuno dei precedenti
grazie in anticipo
Risposte
La funzione è iniettiva, perché monotòna crescente. Calcoli $f(3)$ (opzione A), $f(2)$ (opzione B), $f(\frac{1}{2})$ (opzione C). Se una di queste ti dà $3$ allora hai trovato la controimmagine di $3$ tramite $f$, altrimenti la risposta esatta è la D.
Come vedi non c'è bisogno di esplicitare la funzione inversa (non sarebbe poi facilissimo...).
Come vedi non c'è bisogno di esplicitare la funzione inversa (non sarebbe poi facilissimo...).
grazie mille

In realtà non si può trovare una funzione inversa esplicita espressa con funzioni elementari per equazioni simili, visto che sarebbe come calcolare una radice (delle 7 possibili) di un polinomio di 7° grado!
L'unica quindi è andare per tentativi come giustamente suggerito!
L'unica quindi è andare per tentativi come giustamente suggerito!
mi sono accorto di aver tralasciato un carattere fondamentale il " ' ", in quanto la domanda chiedeva (f^-1)' (3) cioè la derivata dell' inversa nel punto 3. quindi per trovare la derivata devo trovare l' equazione inversa?
Diciamo di no:
$f(x)=2x^7+x^3+x+3$
$d/(dx)f(x)=14x^6+3x^2+1$
$y=f(x)$ ed anche $f^(-1)(y)=x$
Osserviamo che:
$x=f^(-1)(f(x))$
Deriviamo ambo i lati rispetto a $x$:
$1=d/(dx)f^(-1)(f(x))*d/(dx)f(x)$
Per le regole di derivazione di funzione composta!
$d/(dx)f^(-1)(y)=1/(d/(dx)f(x))$
Inoltre da osservare che:
$y=3 rightarrow f(x_0)=3$
$2x_0^7+x_0^3+x_0+3=3$
$x_0(2x_0^6+x_0^2+1)=0$
e quindi $x_0=0$ in quanto $2x_0^6+x_0^2+1>0$ per ogni $x_0$!!!
$d/(dx)f^(-1)(y)|_(y=3)=1/(d/(dx)f(x))|_(x=x_0=0)=1/3$
Non sono sicurissimo, ma in ogni caso dateci una occhiata.
$f(x)=2x^7+x^3+x+3$
$d/(dx)f(x)=14x^6+3x^2+1$
$y=f(x)$ ed anche $f^(-1)(y)=x$
Osserviamo che:
$x=f^(-1)(f(x))$
Deriviamo ambo i lati rispetto a $x$:
$1=d/(dx)f^(-1)(f(x))*d/(dx)f(x)$
Per le regole di derivazione di funzione composta!
$d/(dx)f^(-1)(y)=1/(d/(dx)f(x))$
Inoltre da osservare che:
$y=3 rightarrow f(x_0)=3$
$2x_0^7+x_0^3+x_0+3=3$
$x_0(2x_0^6+x_0^2+1)=0$
e quindi $x_0=0$ in quanto $2x_0^6+x_0^2+1>0$ per ogni $x_0$!!!
$d/(dx)f^(-1)(y)|_(y=3)=1/(d/(dx)f(x))|_(x=x_0=0)=1/3$
Non sono sicurissimo, ma in ogni caso dateci una occhiata.