Funzione Inversa

[Luck32]

Ciao ...

come faccio a dimostrare che una funzione è invertibile?
cioè io so k una funzione è invertibile quando è iniettiva e suriettiva,
ma come si fa a dimostralo tramite passaggi matematici ?

ad esempio :

f(x)= 2x -3 , poichè è una retta, è monotona funzioni motone sono sempre invertibili
( almeno io mi son dato questa motivazione, è giusta? )

ma f(x)= (2x+3)/(x-1), come faccio a dimostare k è invertibile?

Grazie a tutti

[_Tipper]

Una condizione sufficiente (anche se non necessaria) affinché una funzione sia invertibile è la stretta monotonia. Prova a calcolare la derivata prima di quella funzione e studiane il segno.

[franced]

"Luck3":Ciao ...

come faccio a dimostrare che una funzione è invertibile?
cioè io so k una funzione è invertibile quando è iniettiva e suriettiva,
ma come si fa a dimostralo tramite passaggi matematici ?

ad esempio :

f(x)= 2x -3 , poichè è una retta, è monotona funzioni motone sono sempre invertibili
( almeno io mi son dato questa motivazione, è giusta? )

ma f(x)= (2x+3)/(x-1), come faccio a dimostare k è invertibile?

Grazie a tutti

Allora, per la retta $y=2x-3$ basta ricavare la $x$:

$y+3=2x$ da cui $x=(y+3)/2$.

Anche per la funzione omografica è sufficiente ricavare la $x$:

$y=(2x+3)/(x-1)$ da cui: $y(x-1)=2x+3$

$yx-y=2x+3$ cioè $(y-2)x = 3 + y$

quindi:

$x=(3+y)/(y-2)$.

Ovviamente $x \ne 1$ e $y \ne 2$.

[codino75]

"Tipper":Una condizione sufficiente (anche se non necessaria) affinché una funzione sia invertibile è la stretta monotonia.

mi verrebbe da dire che e' anche necessaria se la funzione e' continua...

[_Tipper]

Sì, direi anch'io che se una funzione è continua su un intervallo allora in tale intervalo è invertibile sse è ivi strettamente monotòna.

[Luck32]

si infatti....

anke io sono riuscito a trovare l'inversa nello stesso modo tuo...
solo che l'esercio chiede di dimostrare che la funzione è invertibile...

[Sk_Anonymous]

Se riesci a trovare esplicitamente l'inversa su tutto il dominio hai dimostrato che la funzione è invertibile

[Sk_Anonymous]

Se riesci a trovare esplicitamente l'inversa su tutto il dominio hai dimostrato che la funzione è invertibile