Funzione inversa
Rega vorrei conferma e dimostrazione di una cosa che nn mi convince in toto.
L'esistenza di una funzione inversa è garantita dalla sola iniettività della funzione iniziale.
Io credevo che servisse anche la surriettività... ma recenti definizioni di altri oggetti matematici mi inducono a pensare il contrario...
Grazie a presto e fatemi sapere...
L'esistenza di una funzione inversa è garantita dalla sola iniettività della funzione iniziale.
Io credevo che servisse anche la surriettività... ma recenti definizioni di altri oggetti matematici mi inducono a pensare il contrario...
Grazie a presto e fatemi sapere...
Risposte
La risposta pratica è: dipende da quanto vuoi essere pignolo. Mi spiego:
in linea teorica puoi invertire una funzione solo se essa è bigettiva infatti (detto alla buona):
sia $f:A ->B$
- l'iniettività ti dice che f manda cose diverse in cose diverse quindi se torni indietro ogni cosa può andare in una sola cosa
(cioè se $x!=y => f(x)!=f(y)$ ti assicura che $AAy in Imf : f^(-1)(y)={x}$ per qualche $x in A$ e quindi quando andrai a definire la funzione inversa essa sarà monodroma (un'immagine per ogni elemento del dominio))
- la surgettività ti dice semplicemente che tutti gli elementi di B sono immagini di qualche punto nel dominio quindi quando vai a definire l'inversa sai dove mandare ogni elemento di B.
Ora, supponi f non iniettiva
es:
A={a,b} B={c}
f(a)=f(b)=c
Se volessi definire l'inversa dovrei dire dove mando c e mi troverei nell'imbarazzo della scelta: lo mando in a o in b?
Quindi senza iniettività non vai da nessuna parte. Dovresti restringere il dominio cambiando però sensibilmente la funzione (tra le caratteristiche importanti di una funzione a livello concettuale c'è il suo dominio).
Supponi f non surgettiva
es:
A={a,b} B={c,d,e}
f(a)=c; f(b)=d;
se voglio invertire f faccio la seguente cosa. Definisco $f^(-1)$ nell'immagine di f cioè
$f^(-1):Imf->B$ f(c)=a; f(d)=b
ed e lo butto via.
Quindi formalmente non ho invertito f ma una sua riduzione, ma non me ne frega niente perchè ho buttato via dei punti di B che f non toccava.
Spero sia chiaro. Forse sono stao un po' prolisso.
Ciao
in linea teorica puoi invertire una funzione solo se essa è bigettiva infatti (detto alla buona):
sia $f:A ->B$
- l'iniettività ti dice che f manda cose diverse in cose diverse quindi se torni indietro ogni cosa può andare in una sola cosa
(cioè se $x!=y => f(x)!=f(y)$ ti assicura che $AAy in Imf : f^(-1)(y)={x}$ per qualche $x in A$ e quindi quando andrai a definire la funzione inversa essa sarà monodroma (un'immagine per ogni elemento del dominio))
- la surgettività ti dice semplicemente che tutti gli elementi di B sono immagini di qualche punto nel dominio quindi quando vai a definire l'inversa sai dove mandare ogni elemento di B.
Ora, supponi f non iniettiva
es:
A={a,b} B={c}
f(a)=f(b)=c
Se volessi definire l'inversa dovrei dire dove mando c e mi troverei nell'imbarazzo della scelta: lo mando in a o in b?
Quindi senza iniettività non vai da nessuna parte. Dovresti restringere il dominio cambiando però sensibilmente la funzione (tra le caratteristiche importanti di una funzione a livello concettuale c'è il suo dominio).
Supponi f non surgettiva
es:
A={a,b} B={c,d,e}
f(a)=c; f(b)=d;
se voglio invertire f faccio la seguente cosa. Definisco $f^(-1)$ nell'immagine di f cioè
$f^(-1):Imf->B$ f(c)=a; f(d)=b
ed e lo butto via.
Quindi formalmente non ho invertito f ma una sua riduzione, ma non me ne frega niente perchè ho buttato via dei punti di B che f non toccava.
Spero sia chiaro. Forse sono stao un po' prolisso.
Ciao
ok... confermatemi questa cosa e nn rompo più..
Il fatto che f nn sia suriettiva e solo iniettiva mi dice solamente che l'inversa di f nn è suriettiva anch'essa.
Limita solo questo fatto giusto? $f:A->B $ (inittiva e non suriettiva) $->$ $f^-1:B->A$ (iniettiva e non suriettiva)
Rispondetemi cortesemente così mi tolgo il dubbio...
Il fatto che f nn sia suriettiva e solo iniettiva mi dice solamente che l'inversa di f nn è suriettiva anch'essa.
Limita solo questo fatto giusto? $f:A->B $ (inittiva e non suriettiva) $->$ $f^-1:B->A$ (iniettiva e non suriettiva)
Rispondetemi cortesemente così mi tolgo il dubbio...
Nossignore. Se f è definita $f:A->B$ ed è iniettiva e non suriettiva vuol dire che puoi definire l'inversa solo su Imf e non su tutto B.
ok, grazie
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