Funzione inversa
Buongiorno, come posso determinare la funzione inversa di $f(x)=e^x+x^5$ ? Intanto io ho detto che è invertibile perchè è somma di due funzioni iniettive e definite su tutto $RR$, basta?
Risposte
Anche $f(x)=x-x$ è somma di funzioni iniettive, ti sembra biiettiva?
Usa la monotonia della funzione.
No, non basta perché come ti ha fatto notare marco.ve questo motivo non funziona sempre, piuttosto il punto è che è una somma di due funzioni strettamente crescenti, quindi strettamente crescente a sua volta, dunque invertibile.
Comunque sono abbastanza sicuro che non devi calcolarti l'inversa, dicci cosa vuoi veramente fare.
Comunque sono abbastanza sicuro che non devi calcolarti l'inversa, dicci cosa vuoi veramente fare.
Ok, ci sono. Il mio discorso era che essendo definite entrambe su tutto R e continue esse fossero anche suriettive. Comunque si devo proprio calcolarmi l'inversa.
La soluzione è $1+(1/(e+5))*(y-1-e)$ Non ho idea di come procedere
La soluzione è $1+(1/(e+5))*(y-1-e)$ Non ho idea di come procedere
Quella sarebbe l'inversa? Hai provato a disegnarla? Anche a occhio si vede che è una retta ...
Posso tirare ad indovinare?
Secondo me vivi96 deve scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione inversa in un dato punto... Ho vinto qualche cosa? Non ho vinto niente? Niente? Niente! (cit.)
Beh, per quanto possa sembrare sorprendente, determinare esplicitamente la funzione inversa di $f$ non serve a nulla.
Per risolvere basta sfruttare il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa.
Secondo me vivi96 deve scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione inversa in un dato punto... Ho vinto qualche cosa? Non ho vinto niente? Niente? Niente! (cit.)
Beh, per quanto possa sembrare sorprendente, determinare esplicitamente la funzione inversa di $f$ non serve a nulla.
Per risolvere basta sfruttare il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa.
Disegnandola, tange. 
Si, ma vorrei capire che procedimenti matematici fa per esplicitarla
L'esercizio dice: Let $f(x)=e^x+x^5$. Prove that f is invertible and denote by g its inverse. Compute, if existing, the linearization of g at $y_0=1+e$
Ma se uso il teorema della derivata mi viene $1/f'(x_0)$ che non è assolutamente quella.
Altrimenti se applico la formula $y=(f^-1)*x_0+(f^-1)(y_0)(x-y_0)$
mi chiede comunque l'inversa evidenziata in rosso e non saprei che valore dare a x_0.
Ma se uso il teorema della derivata mi viene $1/f'(x_0)$ che non è assolutamente quella.
Altrimenti se applico la formula $y=(f^-1)*x_0+(f^-1)(y_0)(x-y_0)$
mi chiede comunque l'inversa evidenziata in rosso e non saprei che valore dare a x_0.
L'esercizio dice: Let $f(x)=e^x+x^5$. Prove that f is invertible and denote by g its inverse. Compute, if existing, the linearization of g at $y_0=1+e$
Ma se uso il teorema della derivata mi viene $1/f'(x_0)$ che non è assolutamente quella.
Altrimenti se applico la formula $y=(f^-1)*x_0+(f^-1)(y_0)(x-y_0)$ non saprei che valore dare ad $X_0$ e mi chiede comunque l'inversa evidenziata in rosso
Ma se uso il teorema della derivata mi viene $1/f'(x_0)$ che non è assolutamente quella.
Altrimenti se applico la formula $y=(f^-1)*x_0+(f^-1)(y_0)(x-y_0)$ non saprei che valore dare ad $X_0$ e mi chiede comunque l'inversa evidenziata in rosso
"vivi96":
... Ma se uso il teorema della derivata mi viene $1/f'(x_0)$ che non è assolutamente quella. ...
Quale $x_0$ usi? Che valore ci metti?
P.S.: sistema quei messaggi ...
Sfruttare bene i propri occhi di solito è d'aiuto...
Sia $g$ l'inversa di $f$, la quale esiste ed è continua in $RR$ poiché $f$ è continua, strettamente monotóna in $RR$ intervallo ed ha $RR$ come immagine; inoltre, dato che $f'(x) > 0$ in $RR$, si ha anche $g'(x) > 0$ in $RR$.
Per calcolare l'equazione della retta tangente al grafico di $g$ in $e+1$ è una banale applicazione del Teorema di Derivazione della Funzione Inversa. Infatti, osservato che $f(1)=e+1$, risulta $g(e+1)=1$ e perciò:
\[
g^\prime (e+1) = \frac{1}{f^\prime (1)} = \frac{1}{e+5}\; ,
\]
dunque:
\[
y=g^\prime(e+1)\ (x-e-1) + g(e+1)
\]
ossia:
\[
y = \frac{x + 4}{e + 5}\;.
\]
Sia $g$ l'inversa di $f$, la quale esiste ed è continua in $RR$ poiché $f$ è continua, strettamente monotóna in $RR$ intervallo ed ha $RR$ come immagine; inoltre, dato che $f'(x) > 0$ in $RR$, si ha anche $g'(x) > 0$ in $RR$.
Per calcolare l'equazione della retta tangente al grafico di $g$ in $e+1$ è una banale applicazione del Teorema di Derivazione della Funzione Inversa. Infatti, osservato che $f(1)=e+1$, risulta $g(e+1)=1$ e perciò:
\[
g^\prime (e+1) = \frac{1}{f^\prime (1)} = \frac{1}{e+5}\; ,
\]
dunque:
\[
y=g^\prime(e+1)\ (x-e-1) + g(e+1)
\]
ossia:
\[
y = \frac{x + 4}{e + 5}\;.
\]
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