Funzione inversa
-pensavo di saper calcolare l'inversa di una funzione. Poi mi sono imbattuta in una somma di questo tipo:
$f(x)= x^3+arctan(x)+e^x$
Essendo somma di funzioni bigettive, ammette l'inversa. Di base farei $ y=f(x)$ e mi troverei $x$ in funzione di $y$. Ma ho dei dubbi sulla risoluzione. Come posso procedere?
$f(x)= x^3+arctan(x)+e^x$
Essendo somma di funzioni bigettive, ammette l'inversa. Di base farei $ y=f(x)$ e mi troverei $x$ in funzione di $y$. Ma ho dei dubbi sulla risoluzione. Come posso procedere?
Risposte
ti viene chiesto di calcolare esplicitamente la funzione inversa?
Si penso di si, perhè poi mi chiede di calcolare un grafico qualitativo dell'inversa con derivata prima e seconda. Non so se ci sono altri modi per ricavare queste informazioni
la parola qualitativo dovrebbe dirti che calcolare esplicitamente l'inversa non e' la strada da seguire.
E se usassi il teorema della derivata della funzione inversa?
E se usassi il teorema della derivata della funzione inversa?
Non dovrei comunque calcolare la funzione inversa?
Forse ci sono, la derivata della funzione inversa che mi serve è
$(f^-1)'(y)= (1+x^2)/(3x^2+3x^4+1+e^x+x^2e^x)$ . Dunque basta che io studi questa e la calcoli nei punti $g'(1)$ etc, o sbaglio?
Vedo se è crescente/decrescente, cerco i minimi massimi e poi la cos'altro dovrei trovare per il grafico qualitativo?
$(f^-1)'(y)= (1+x^2)/(3x^2+3x^4+1+e^x+x^2e^x)$ . Dunque basta che io studi questa e la calcoli nei punti $g'(1)$ etc, o sbaglio?
Vedo se è crescente/decrescente, cerco i minimi massimi e poi la cos'altro dovrei trovare per il grafico qualitativo?
Ah, e posso dire che è invertibile perchè è somma di funzioni continue, definite su tutto R e quindi iniettive? Senza dimostrare che la $f(x)$ sia o meno monotona o meno. Oppure devo proprio farlo analiticamente?
Ciao vivi96,
Sì. L'inversa della funzione proposta esiste, ma non è esprimibile in termini di funzioni matematiche standard.
Seguirei il consiglio di feddy...
"vivi96":
sbaglio?
Sì. L'inversa della funzione proposta esiste, ma non è esprimibile in termini di funzioni matematiche standard.
Seguirei il consiglio di feddy...
grazie pilloeffe 
non mi sembra che funzioni di questo tipo siano per forza invertibili. Prendi $f(x)=x^2 +2$, e' continua su tutto $RR$, somma di funzioni continue, (ma non e' globalmente invertibile (serve l'iniettivita', che si puo' ottenere restrigendosi in questo caso a un ramo di parabola).
Le funzioni in questioni non sono neppure difficili da derivare. La derivata e': $f'(x)=3x^2 + e^x + 1/(1+x^2) >0 \forall x \in RR$
"vivi96":
Ah, e posso dire che è invertibile perchè è somma di funzioni continue, definite su tutto R e quindi iniettive?
non mi sembra che funzioni di questo tipo siano per forza invertibili. Prendi $f(x)=x^2 +2$, e' continua su tutto $RR$, somma di funzioni continue, (ma non e' globalmente invertibile (serve l'iniettivita', che si puo' ottenere restrigendosi in questo caso a un ramo di parabola).
Le funzioni in questioni non sono neppure difficili da derivare. La derivata e': $f'(x)=3x^2 + e^x + 1/(1+x^2) >0 \forall x \in RR$
E cosa c'è di sbagliato in quello che ho fatto? Ho trovato la derivata ed h usato la formula di $(f^-1)'=1/f'(x)$
E dato che devo disegnarne un grafico studio la derivata che ho trovato, ovvero la derivata della funzione inversa, no?
E come dimostro che è invertibile?
E dato che devo disegnarne un grafico studio la derivata che ho trovato, ovvero la derivata della funzione inversa, no?
E come dimostro che è invertibile?
Non credo che puoi ottenere la derivata dell'inversa in forma generica per ogni $x$, puoi ottenerla solo in singoli punti, cioè puoi avere ad esempio $g'(1)$ ma non $g'(x)$ ($g=f^{-1}$ per comodità). Per il grafico qualitativo di $g$ credo che si debba fare il grafico di $f$ perché il grafico di $g$ è il suo simmetrico rispetto a $y=x$
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