Funzione inversa
L'esercizio è il seguente:
Calcolare se esiste l' inversa della funzione:
$ f(x)=(2^x+2^-x)/2 $
dichiarando dominio e immagine.
Essendo $ f(x):RR->RR $ allora $ f^-1(x) $ avrà come dominio $RR$ a questo punto non so come trovare l'espressione della funzione inversa (non mi riesce ricavarmi la x), ho pensato di passare ai logaritmi in base 2 ( che tra l'altro a questo capitolo non sono ancora stati introdotti) ma comunque non riesco a ricavare nulla. Potreste darmi una dritta su come fare? grazie.
Calcolare se esiste l' inversa della funzione:
$ f(x)=(2^x+2^-x)/2 $
dichiarando dominio e immagine.
Essendo $ f(x):RR->RR $ allora $ f^-1(x) $ avrà come dominio $RR$ a questo punto non so come trovare l'espressione della funzione inversa (non mi riesce ricavarmi la x), ho pensato di passare ai logaritmi in base 2 ( che tra l'altro a questo capitolo non sono ancora stati introdotti) ma comunque non riesco a ricavare nulla. Potreste darmi una dritta su come fare? grazie.
Risposte
Tralasciando il "sapore" di seno iperbolico di quell'affare. 
Volendo, puoi porre $2^x=t$ da cui ottieni $2^(-x)=t^(-1)$: è contoso ma ci si arriva (anche se c'è un $\pm$ che dà fastidio). Se espliciti la $t$ in funzione di $y$ basta ricordare che $t=2^x$ da cui $x=log_2 (...)$.
Volendo, puoi porre $2^x=t$ da cui ottieni $2^(-x)=t^(-1)$: è contoso ma ci si arriva (anche se c'è un $\pm$ che dà fastidio). Se espliciti la $t$ in funzione di $y$ basta ricordare che $t=2^x$ da cui $x=log_2 (...)$.
Intanto grazie. Avevo visto anch'io che assomigliava ad un coseno iperbolico ma non ho molta dimestichezza con le funzioni iperboliche.
Ho provato questo modo:
$ y=(t+t^-1)/2 $
$ y=t/2+1/(2t) $
$ y=(2t^2+2)/(4t)=(t^2+1)/(2t) $
....
ma anche da qui non arrivo a niente (non riesco a trovare t).
Ho provato questo modo:
$ y=(t+t^-1)/2 $
$ y=t/2+1/(2t) $
$ y=(2t^2+2)/(4t)=(t^2+1)/(2t) $
....
ma anche da qui non arrivo a niente (non riesco a trovare t).
"niccoset":
$ y=(2t^2+2)/(4t)=(t^2+1)/(2t) $
....
ma anche da qui non arrivo a niente (non riesco a trovare t).
Ovvero
$2ty= t^2+1$ cioè $t^2-2ty+1=0$.
Dunque $t(y)= y \pm \sqrt(y^2-1)$
Il resto va analizzato con calma, cioè discriminante non negativo, vedere quando bisogna prendere un ramo o l'altro (ricordi, ad es, "come si inverte" l'equazione di una parabola?)
Ah, dimenticavo. O all'inizio o alla fine devi rapportarti al fatto che $t=2^x$ e dunque $x= log_2 (...)$.
Non mi basta dire che $ y<=-1 vv y>=1 $ ??
Ora non posso sostituire in $ x=log_2t $ la mia t(y)??
Ora non posso sostituire in $ x=log_2t $ la mia t(y)??
"niccoset":
Non mi basta dire che $ y<=-1 vv y>=1 $ ??
Ora non posso sostituire in $ x=log_2t $ la mia t(y)??
Sì, però ottieni due diversi "rami" e devi vedere quando vale uno e quando vale l'altro.
Ti faccio un esempio, se prendi $y=x^2$ e la inverti ottieni $x= \pm \sqrt(y)$. Il risultato si spiega poiché la parabola è invertibile solo restringendo il dominio a dove è iniettiva (quindi una volta il ramo crescente un'altra volta quello decrescente).
La conclusione è che
- per $x>0$ l'inversa di $y=x^2$ è $x= \sqrt(y)$
- per $x<0$ l'inversa di $y=x^2$ è $x= -\sqrt(y)$.
Anche qui ottieni un $\pm$ che devi giustificare in qualche modo restringendo la funzione di partenza in modo da rispettare le condizioni di invertibilità.
Grazie mille.
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