Funzione introvabile!
Salve a tutti,
per completare un problema avrei bisogno di trovare una funzione f con queste determinate proprietà:
1) Dato l'intervallo $I=[a,b], f: [a,b]rarrRR$;
2) f dev'essere derivabile n-volte;
3) $f^((n))(a)=1 AA n>=0$.
A questo punto credo di poter escludere le funzioni analitiche, quindi dovrei concentrarmi su funzioni del tipo $e^(-1/x^2)$ o qualcosa di simile, ma non riesco a trovare il modo di rendere indipendente da a il valore di f. Ad esempio, se prendo la funzione $f(x)=1$, allora $f(a)=1$, ma $f^((1))(a)=0$ costantemente. Qualche idea? Grazie.
per completare un problema avrei bisogno di trovare una funzione f con queste determinate proprietà:
1) Dato l'intervallo $I=[a,b], f: [a,b]rarrRR$;
2) f dev'essere derivabile n-volte;
3) $f^((n))(a)=1 AA n>=0$.
A questo punto credo di poter escludere le funzioni analitiche, quindi dovrei concentrarmi su funzioni del tipo $e^(-1/x^2)$ o qualcosa di simile, ma non riesco a trovare il modo di rendere indipendente da a il valore di f. Ad esempio, se prendo la funzione $f(x)=1$, allora $f(a)=1$, ma $f^((1))(a)=0$ costantemente. Qualche idea? Grazie.
Risposte
ti direi $e^x$ con intervallo $[0,1]$
ma a quest'ora sono un pò confuso.
ma a quest'ora sono un pò confuso.
hmh... ma se x=1/2 $e^(1/2)!=1$, funziona solo se x=0... o sbaglio?
perdonami ma non mi è chiaro il problema...
se dici così vuoi dire che cerchi una funzione derivabile enne volte e che il valore di qualsiasi derivata ennesima sia uguale a 1 per qualsiasi intervallo possibile?
O sbaglio?
Cioè non capisco la tua osservazione
se dici così vuoi dire che cerchi una funzione derivabile enne volte e che il valore di qualsiasi derivata ennesima sia uguale a 1 per qualsiasi intervallo possibile?
O sbaglio?
Cioè non capisco la tua osservazione
Esatto, l'intervallo è generico... Cerco una funzione derivabile enne volte e con derivata che, valutata in a, (estremo dell'intervallo I già citato) per qualsiasi n valga 1.
Poni [tex]$f^{(n)}(x)=1$[/tex] in [tex]$[a,b]$[/tex], fissa a caso [tex]$y_0,\ldots ,y_{n-1} \in \mathbb{R}$[/tex] ed integra [tex]$n$[/tex] volte con punto iniziale [tex]$a$[/tex] usando come valori iniziali [tex]$y^{(k)}(a)=y_k$[/tex]; in altre parole:
[tex]$y^{(n-1)} (x)-y_{n-1}=\int_a^x f^{(n)}(t)\ \text{d} t =\int_a^x \ \text{d} t=x-a$[/tex],
quindi [tex]$y^{(n-1)} (x)=y_{n-1} +(x-a)$[/tex], integrando ancora:
[tex]$y^{(n-2)}(x)-y_{n-2}=\int_a^x y^{(n-1)}(t)\ \text{d} t=\int_a^x [y_{n-1} +(t-a)]\ \text{d} t =y_{n-1}(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^2$[/tex],
sicché [tex]$y^{(n-2)}(x)=y_{n-2}+y_{n-1}(x-a)+\tfrac{1}{2} (x-a)^2$[/tex], etcetera...
La funzione [tex]$f$[/tex] così determinata gode di tutte le proprietà richieste.
[tex]$y^{(n-1)} (x)-y_{n-1}=\int_a^x f^{(n)}(t)\ \text{d} t =\int_a^x \ \text{d} t=x-a$[/tex],
quindi [tex]$y^{(n-1)} (x)=y_{n-1} +(x-a)$[/tex], integrando ancora:
[tex]$y^{(n-2)}(x)-y_{n-2}=\int_a^x y^{(n-1)}(t)\ \text{d} t=\int_a^x [y_{n-1} +(t-a)]\ \text{d} t =y_{n-1}(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^2$[/tex],
sicché [tex]$y^{(n-2)}(x)=y_{n-2}+y_{n-1}(x-a)+\tfrac{1}{2} (x-a)^2$[/tex], etcetera...
La funzione [tex]$f$[/tex] così determinata gode di tutte le proprietà richieste.
Scusa, ma le y sono funzioni a valori in R?
"UgoFoscolo90":
Scusa, ma le y sono funzioni a valori in R?
E dove se no?
E comunque le [tex]$y_k$[/tex] sono costanti numeriche, non funzioni.
***
Aaaaaaaaaah... Ecco adesso ho visto il problema!
Tu forse vuoi una funzione [tex]$C^\infty$[/tex] (e non derivabile solo [tex]$n$[/tex] volte... Mannaggia alla miseriaccia!) che abbia tutte le derivate [tex]$=1$[/tex] in [tex]$a$[/tex]!
Se è questo il tuo problema, esso in tutta la sua generalità è stato trattato qui.
Ma è mostruoso... non ho idea di come possa essere fatta la funzione...
Perciò ti ho detto che quella era la trattazione generale.
Per il tuo problema basta e avanza adattare il suggerimento proposto da krek: visto che [tex]$e^x$[/tex] ha tutte le derivate [tex]$=1$[/tex] in [tex]$0$[/tex], perchè non fare una bella traslazione della variabile?
Per il tuo problema basta e avanza adattare il suggerimento proposto da krek: visto che [tex]$e^x$[/tex] ha tutte le derivate [tex]$=1$[/tex] in [tex]$0$[/tex], perchè non fare una bella traslazione della variabile?
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