Funzione interpolatrice del fattoriale

[Nebula2]

sono incappato in questa funzione, chiamiamola $\Gamma$, nella risoluzione di questo integrale:
$int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^a x^b}=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(2-a-b)}$ con $a,b<=1$.

conoscete questa funzione? sapete dove posso studiarla?

[_luca.barletta]

http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

[Nebula2]

perfetto. ma come si arriva dalla definizione all'integrale che ho trovato?

[_luca.barletta]

"Nebula":sono incappato in questa funzione, chiamiamola $\Gamma$, nella risoluzione di questo integrale:
$int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^a x^b}=\frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(2-a-b)}$ con $a,b<=1$.

conoscete questa funzione? sapete dove posso studiarla?

è sbagliata, dovrebbe essere $int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^a x^b}=\frac{\Gamma(1-a) \Gamma(1-b)}{\Gamma(2-a-b)}$

comunque dimostro che vale la seguente che è la stessa cosa:
$I(a,b)=int_0^1 x^(b-1)(1-x)^(a-1)dx=(Gamma(a)Gamma(b))/(Gamma(a+b))$, con $ccR{a},ccR{b} >0$

si può procedere agevolmente usando la definizione alternativa $Gamma(a)=2int_0^(infty)t^(2a-1)e^(-t^2)dt$

allora il prodotto $Gamma(a)Gamma(b)=4int_0^(infty)u^(2a-1)e^(-u^2)du*int_0^(infty)v^(2b-1)e^(-v^2)dv=4int_0^(infty)int_0^(infty)e^(-(u^2+v^2))u^(2a-1)v^(2b-1)dudv$

passando a coordinate polari $u=rhocostheta$,$v=rhosintheta$ si ha
$4int_0^(infty)int_0^(pi/2)e^-(rho^2)rho^(2(a+b)-1)cos^(2a-1)theta*sin^(2b-1)theta*drhod\theta=$
$2int_0^(infty)rho^(2(a+b)-1)e^-(rho^2)drho * 2int_0^(pi/2)cos^(2a-1)theta*sin^(2b-1)thetad\theta=Gamma(a+b)I(a,b)$

dove $I(a,b)$ lo devi trasformare sempre in coordinate polari. E dunque rimane dimostrato.

[Nebula2]

"luca.barletta":è sbagliata, dovrebbe essere $int_0^1 \frac{dx}{(1-x)^a x^b}=\frac{\Gamma(1-a) \Gamma(1-b)}{\Gamma(2-a-b)}$

sì è vero, mi ero sbagliato.

"luca.barletta":$I(a,b)$ lo devi trasformare sempre in coordinate polari. E dunque rimane dimostrato.

mmm.... non ho capito... cosa devo fare per risolvere $I(a,b)$?

[_luca.barletta]

"luca.barletta":
$I(a,b)=int_0^1 x^(b-1)(1-x)^(a-1)dx

devi trasformare questo in coordinate polari e riconoscerlo nell'ultima espressione che ho scritto

[Nebula2]

cioè dovrei trovare $I(a,b)=int_0^1 x^(b-1)(1-x)^(a-1)dx=2int_0^(pi/2)cos^(2a-1)theta*sin^(2b-1)thetad\theta$?

ma il problema non era proprio calcolare $I(a,b)$?

[_luca.barletta]

"Nebula":cioè dovrei trovare $I(a,b)=int_0^1 x^(b-1)(1-x)^(a-1)dx=2int_0^(pi/2)cos^(2a-1)theta*sin^(2b-1)thetad\theta$?

esatto

ma il problema non era proprio calcolare $I(a,b)$?

abbiamo trovato che $Gamma(a)Gamma(b)=Gamma(a+b)I(a,b)$, dunque $I(a,b)=(Gamma(a)Gamma(b))/(Gamma(a+b))$

[Nebula2]

il fatto è che non riesco a vedere che $int_0^1 x^(b-1)(1-x)^(a-1)dx=2int_0^(pi/2)cos^(2a-1)theta*sin^(2b-1)thetad\theta$.

[_luca.barletta]

"Nebula":il fatto è che non riesco a vedere che $int_0^1 x^(b-1)(1-x)^(a-1)dx=2int_0^(pi/2)cos^(2a-1)theta*sin^(2b-1)thetad\theta$.

Prova a fare la sostituzione $x=sin^2theta$

[Nebula2]

perfetto. grazie.