Funzione integranda infinitesima come condizione necessaria per l'integrabilità impropria su intervalli illimitati
Salve, a questa affermazione bisognerebbe aggiungere qualche altra condizione per fare in modo che sia vera:
Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
localmente integrabile secondo Riemann,
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
La domanda è:
quali sono le condizioni minime per fare in modo che sia vera?
Allora io penso che abbiamo queste possibilità:
1) Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
continua
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
2) Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
monotòna
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
3) Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
localmente integrabile secondo Riemann,
esiste, reale o infinito, il limite di \(\displaystyle \mathrm{f} \) per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \) ,
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
Si noti che in nessuno dei 3 casi ho parlato del segno della funzione (non ho detto che deve essere "non negativa").
E si noti che nei primi 2 casi non ho fatto cenno all'esistenza del limite della funzione.
E nel terzo caso non faccio cenno della continuità della funzione.
Che dite sono vere quelle 3 affermazioni? O magari avete controesempi?
Non penso si possano trovare condizioni ancora "meno minime", giusto?
Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
localmente integrabile secondo Riemann,
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
La domanda è:
quali sono le condizioni minime per fare in modo che sia vera?
Allora io penso che abbiamo queste possibilità:
1) Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
continua
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
2) Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
monotòna
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
3) Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
localmente integrabile secondo Riemann,
esiste, reale o infinito, il limite di \(\displaystyle \mathrm{f} \) per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \) ,
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
Si noti che in nessuno dei 3 casi ho parlato del segno della funzione (non ho detto che deve essere "non negativa").
E si noti che nei primi 2 casi non ho fatto cenno all'esistenza del limite della funzione.
E nel terzo caso non faccio cenno della continuità della funzione.
Che dite sono vere quelle 3 affermazioni? O magari avete controesempi?
Non penso si possano trovare condizioni ancora "meno minime", giusto?
Risposte
Devi tenere in mente il controesempio classico, con gli "spikes" sempre piú alti e stretti man mano che vai a infinito. Quella é una funzione continua, quindi 1) non va bene. 2) e 3) invece si.
La 1) non basta (anche $\sin(x^2)$ funziona come controesempio), la 2) si ma è una richiesta veramente fortissima, la 3) basta ed è verosimilmente la più debole possibile che funziona.
Un'idea per dimostrare la 3) (di cui la 2) è conseguenza) può essere, se conosci il limsup e il liminf, dimostrare che $\text{liminf}_(x->+\infty)f(x)<=0<=\text{limsup}_(x->+\infty)f(x)$.
Un'idea per dimostrare la 3) (di cui la 2) è conseguenza) può essere, se conosci il limsup e il liminf, dimostrare che $\text{liminf}_(x->+\infty)f(x)<=0<=\text{limsup}_(x->+\infty)f(x)$.
@dissonance
Caspita!!! Me lo ero fatto pure io quell'esempio con quegli "spikes", solo che dopo avevo letto questo qui https://www.math.unipd.it/~alvise/IA_2014/INTEGRALI/integrali.pdf
a pagina 114 e mi sono dimenticato di quell'esempio. Grazieee
@otta96
l'esempio di \(\displaystyle \mathrm{sin(x^2)} \) bellooooo . E grazie per il resto
Caspita!!! Me lo ero fatto pure io quell'esempio con quegli "spikes", solo che dopo avevo letto questo qui https://www.math.unipd.it/~alvise/IA_2014/INTEGRALI/integrali.pdf
a pagina 114 e mi sono dimenticato di quell'esempio. Grazieee
@otta96
l'esempio di \(\displaystyle \mathrm{sin(x^2)} \) bellooooo . E grazie per il resto
"frank dailet":
avevo letto questo qui https://www.math.unipd.it/~alvise/IA_2014/INTEGRALI/integrali.pdf
a pagina 114
Ma che cavolo c'è scritto?!?
Non è mica vero.
"otta96":
[quote="frank dailet"]avevo letto questo qui https://www.math.unipd.it/~alvise/IA_2014/INTEGRALI/integrali.pdf
a pagina 114
Ma che cavolo c'è scritto?!?
Non è mica vero.[/quote]e infatti. E' proprio vero che gira tanta "roba" in giro, ma non tutta la "roba" è "roba bona"
Comunque si tratta di 2 professori dell'università di padova e pure del dipartimento di matematica!!
e quel pdf l'ha messa uno dei 2 prof sulla sua pagina web del dipartimento https://www.math.unipd.it/~alvise/IA_2014/INTEGRALI/
vabbè una svista, capita
Insomma, mettere una a al posto di una e è una svista, una cosa del genere la dovresti avere talmente impressa che non la puoi sbagliare se sei un prof, secondo me.
"otta96":
Insomma, mettere una a al posto di una e è una svista, una cosa del genere la dovresti avere talmente impressa che non la puoi sbagliare se sei un prof, secondo me.
in effetti ...
Comunque, per carità, non per infierire, è solo una curiosità,
( perchè poi ho cercato per vedere se c'era una correzione e magari osservazioni aggiuntive )
sulla pagina del prof https://www.math.unipd.it/~alvise/didattica.html
dall'Anno 2014-2015 fino a Anno 2017-2018
se vai su Istituzioni di Analisi Matematica
e poi clicchi su Integrali o Integrazione ( a seconda dell'anno)
trovi lo stesso pdf, con qualche modifica, ma quell'errore c'è sempre.
E l'ultimo anno si è aggiunto pure un terzo prof, a firma del pdf.
Comunque, vabbè, era solo per curiosità.
"otta96":
Insomma, mettere una a al posto di una e è una svista, una cosa del genere la dovresti avere talmente impressa che non la puoi sbagliare se sei un prof, secondo me.
Sono d'accordo.
Aggiungo una considerazione che per me è molto significativa.
Questo pdf è stato usato per più anni. Nessun feedback? Nessuno studente un po' sveglio?
OT
Altra annotazione, riguardante la forma. Che senso ha usare un formato per slide, per presentazioni, quando un sacco di pagine sono usate per far vedere come si integrano i classici mucchietti di funzioni (razionali, irrazionali fatte così e cosà, etc.)? Io ci vedo un conflitto virulento fra forma e contenuto.
Ma sbaglierò, magari è solo perché mi infastidiscono comunque questi elenchi di funzioni e metodi, che ho sempre detestato
"Fioravante Patrone":
Aggiungo una considerazione che per me è molto significativa.
Questo pdf è stato usato per più anni. Nessun feedback? Nessuno studente un po' sveglio?
Fioravante, non credo che non ci siano studenti svegli, ce ne saranno di bravissimi, ma nella mia esperienza (ho passato molto tempo insieme a studenti di matematica, ma proprio li ho conosciuti dal di dentro con seguendo corsi come loro) non c'è studente più antropologicamente pauroso dello studente di matematica, almeno ai primi anni.
Non mi chiedere perché, ma è così, sono più timidi e hanno paura di parlare, presi mi pare anche dal terrore di sbagliare e sembrare asini. Si farebbero passare il tram addosso senza dire niente.
Ho visto esempi limite, come una volta, a una esercitazione di meccanica razionale, il tutor si è sbagliato a dare gli esercizi, e ha dato un foglio di esercizi su un argomento che non avevano ancora fatto.
Be', nessuno ha osato fiatare, sono stati due ore senza fare niente, pur di non dire:"Guardi, che questo argomento a lezione lo dobbiamo ancora fare."
C'è una grande differenza con gli studenti di altre facoltà, non so davvero il perché.
Alla Sapienza, Matematica sta accanto a Lettere e Fisica. Be', se succede qualcosa, mettiamo che c'è la rivoluzione, a Lettere e Fisica stanno fuori con gli striscioni, a Matematica buoni buoni in aula.
Non parliamo dell'enorme differenza con gli studenti di Giurisprudenza, che pure ho conosciuto bene.
Boh?
Se posso continuare con l'OT, due commenti e un aneddoto
Primo commento:
"studenti svegli?". Vorrei sottolineare che non intendevo "offendere" gli studenti. Solo che mi sembrava strano con in un tot di anni non ci sia stato nessuno studente che: 1. si sia accorto dell'errore, 2. abbia cercato conforto in libri e colleghi, 3. sia finalmente andato dal prof per segnalargli la "svista".
Cause per cui ciò può non essere avvenuto?
- mi pare che il corso non fosse rivolto a studenti di matematica, quindi di interesse minore
- è un argomento "di fine corso", quindi trascurato per definizione
- è una affermazione "plausibile", prendendo a spunto la solta CN di convergenza per le serie
- magari il prof (i prof) che hanno scritto queste slide sono scorbutici o peggio
Secondo commento:
sì, gli studenti di matematica sono "paurosi" per usare le tue parole. Ho insegnato per un po' di anni TdG al 4°-5° anno di mate e mi toccava passare almeno metà del corso a sollecitare gli studenti a intervenire, a fare domande, a metter in dubbio quello che dicevo, etc.
d'altronde non è che nella matematica ordinaria, compresa quella che fanno credo almeno il 99% dei ricercatori, ci sia ampio spazio per la discussione, per cui è forse un destino che l'abito del matematico abbia questa foggia
Aneddoto (che c'entra un po' ma non troppo)
Insegnavo TdG agli ing. gestionali al Polimi. Un mare di studenti, sui 200. E quando sono arrivato al classico "imbroglio" che tradizionalmente facevo riguardo alla battaglia dei sessi (il giocatore I preferisce l'equilibrio TL a quello BR perché in TL lui ottiene 2 e l'altro solo 1), solo uno ha avuto l'ardire, dal fondo della classe, di obiettare! L'ho lasciato parlare, poi ho contestato le sue (giuste) considerazioni usando in modo ignobile la mia "autorità", per cui alla fine mi ha dato ragione, ritirando le sue obiezioni. Al che l'ho sgridato per non aver avuto il coraggio di sostenere le sue affermazioni
Naturalmente era uno fra i più bravi del corso
Primo commento:
"studenti svegli?". Vorrei sottolineare che non intendevo "offendere" gli studenti. Solo che mi sembrava strano con in un tot di anni non ci sia stato nessuno studente che: 1. si sia accorto dell'errore, 2. abbia cercato conforto in libri e colleghi, 3. sia finalmente andato dal prof per segnalargli la "svista".
Cause per cui ciò può non essere avvenuto?
- mi pare che il corso non fosse rivolto a studenti di matematica, quindi di interesse minore
- è un argomento "di fine corso", quindi trascurato per definizione
- è una affermazione "plausibile", prendendo a spunto la solta CN di convergenza per le serie
- magari il prof (i prof) che hanno scritto queste slide sono scorbutici o peggio
Secondo commento:
sì, gli studenti di matematica sono "paurosi" per usare le tue parole. Ho insegnato per un po' di anni TdG al 4°-5° anno di mate e mi toccava passare almeno metà del corso a sollecitare gli studenti a intervenire, a fare domande, a metter in dubbio quello che dicevo, etc.
d'altronde non è che nella matematica ordinaria, compresa quella che fanno credo almeno il 99% dei ricercatori, ci sia ampio spazio per la discussione, per cui è forse un destino che l'abito del matematico abbia questa foggia
Aneddoto (che c'entra un po' ma non troppo)
Insegnavo TdG agli ing. gestionali al Polimi. Un mare di studenti, sui 200. E quando sono arrivato al classico "imbroglio" che tradizionalmente facevo riguardo alla battaglia dei sessi (il giocatore I preferisce l'equilibrio TL a quello BR perché in TL lui ottiene 2 e l'altro solo 1), solo uno ha avuto l'ardire, dal fondo della classe, di obiettare! L'ho lasciato parlare, poi ho contestato le sue (giuste) considerazioni usando in modo ignobile la mia "autorità", per cui alla fine mi ha dato ragione, ritirando le sue obiezioni. Al che l'ho sgridato per non aver avuto il coraggio di sostenere le sue affermazioni
Naturalmente era uno fra i più bravi del corso
"Fioravante Patrone":
solo uno ha avuto l'ardire, dal fondo della classe, di obiettare! L'ho lasciato parlare, poi ho contestato le sue (giuste) considerazioni usando in modo ignobile la mia "autorità", per cui alla fine mi ha dato ragione, ritirando le sue obiezioni.
È un tipico caso di 'dimostrazione per intimidazione', che pare sia dovuta a Feller.
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_intimidation
"Fioravante Patrone":
Aneddoto (che c'entra un po' ma non troppo)
Insegnavo TdG agli ing. gestionali al Polimi. Un mare di studenti, sui 200. E quando sono arrivato al classico "imbroglio" che tradizionalmente facevo riguardo alla battaglia dei sessi (il giocatore I preferisce l'equilibrio TL a quello BR perché in TL lui ottiene 2 e l'altro solo 1), solo uno ha avuto l'ardire, dal fondo della classe, di obiettare! L'ho lasciato parlare, poi ho contestato le sue (giuste) considerazioni usando in modo ignobile la mia "autorità", per cui alla fine mi ha dato ragione, ritirando le sue obiezioni. Al che l'ho sgridato per non aver avuto il coraggio di sostenere le sue affermazioni
Naturalmente era uno fra i più bravi del corso
Ho letto una storia simile su "Math Talks for Undergraduates" di Serge Lang, pg.10:
...Some students say yes, some keep a prudent silence. Once at UC Berkeley, two professors in the audience said yes. Then I pointed to a student, and asked: "What do you say?" The student said "sure". [...] So it's not so sure, is it? Don't do what you did, saying "sure" based on what someone else says. Use your own brains. If you don't know, or want to think about it, say so. You won't do it again?
"gabriella127":
a Matematica buoni buoni in aula.
Da me uno si era buttato dalla tromba delle scale del dipartimento (pace all'anima sua), e gli studenti tutti li gia' pronti a continuare le lezioni
080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6, incredibile, impressionante, fa il paio con la bellissima citazione della tua firma.
Un altro esempio, meno estremo, che ricordo.
Diversi anni fa, credo intorno al 2010, girarono una puntata di una serie famosa gialla, mi pare R.I.S., al dipartimento di matematica alla Sapienza, ci dovevano essere inseguimenti nei corridoi, e poi il morto assassinato trovato in biblioteca.
Be', mentre c'erano queste riprese e agenti che correvano in giro i ragazzi stavano in giro mosci mosci, nessuno che guardasse, andando a fare lezione. Io pensai: "Ragazzi, siete vivi?".
Io non ho mai capito questa cosa, perché poi da vicino singolarmente sono ragazzi normali, intelligenti, sensibili, boh.
Diversi anni fa, credo intorno al 2010, girarono una puntata di una serie famosa gialla, mi pare R.I.S., al dipartimento di matematica alla Sapienza, ci dovevano essere inseguimenti nei corridoi, e poi il morto assassinato trovato in biblioteca.
Be', mentre c'erano queste riprese e agenti che correvano in giro i ragazzi stavano in giro mosci mosci, nessuno che guardasse, andando a fare lezione. Io pensai: "Ragazzi, siete vivi?".
Io non ho mai capito questa cosa, perché poi da vicino singolarmente sono ragazzi normali, intelligenti, sensibili, boh.
"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
[quote="gabriella127"] a Matematica buoni buoni in aula.
Da me uno si era buttato dalla tromba delle scale del dipartimento (pace all'anima sua), e gli studenti tutti li gia' pronti a continuare le lezioni[/quote]
Ah ah ah
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo