Funzione integrale logaritmo composto coseno
Non sono sicura che vada bene il titolo.
Ho un esercizio mai visto prima d'ora : $f(x)=-\int_{0}^{x} log(cost) dt$
Mi chiede di determinare il dominio di $f(x)$, okay, trovo che $g(t)= log(cost)$ è definita in $(0,pi\/2)uu(3/2pi\)$ con periodicità, parto a studiare la convergenza nel primo intervallo, vedo che in 0 va a 0, converge, in $pi\/2$ converge perchè, ditemi se sbaglio, va a $-infty$ . L'ordine in cui ci va direi che è minore di uno perchè il rapporto incrementale in quel punto fa $-infty$ dunque non esiste la derivata 1, giusto? Sarebbe un punto di cuspide. Per l'altro intervallo ho lo stesso problema a $(3/2pi\)$ e così per tutti i successivi intervalli.
Il mio dubbio atroce sta in questo punto:
Provare che $f(x)=2f(pi\/4+x/2)-2f(pi\/4-x/2)-xlog2$ Pensavo di trovare la primitiva in un intervallo, ma quell'integrale è impossibile da risolvere, dunque ho pensato di derivare questa qui e porla uguale all'integranda, ma non vorrei dire belinate.
Inoltre mi chiede di calcolare $f(pi\/2)$ e disegnare un grafico qualitativo di f.
E qui allora mi viene da pensare che debba risolverlo per forza. Ho provato in tutti i modi, con formule parametriche, per parti, per sostituzione, poi ho cercato su internet e la soluzione è assurda, deduco che io sia totalmente fuori strada, qualcuno potrebbe darmi un consiglio in merito?
Ho un esercizio mai visto prima d'ora : $f(x)=-\int_{0}^{x} log(cost) dt$
Mi chiede di determinare il dominio di $f(x)$, okay, trovo che $g(t)= log(cost)$ è definita in $(0,pi\/2)uu(3/2pi\)$ con periodicità, parto a studiare la convergenza nel primo intervallo, vedo che in 0 va a 0, converge, in $pi\/2$ converge perchè, ditemi se sbaglio, va a $-infty$ . L'ordine in cui ci va direi che è minore di uno perchè il rapporto incrementale in quel punto fa $-infty$ dunque non esiste la derivata 1, giusto? Sarebbe un punto di cuspide. Per l'altro intervallo ho lo stesso problema a $(3/2pi\)$ e così per tutti i successivi intervalli.
Il mio dubbio atroce sta in questo punto:
Provare che $f(x)=2f(pi\/4+x/2)-2f(pi\/4-x/2)-xlog2$ Pensavo di trovare la primitiva in un intervallo, ma quell'integrale è impossibile da risolvere, dunque ho pensato di derivare questa qui e porla uguale all'integranda, ma non vorrei dire belinate.
Inoltre mi chiede di calcolare $f(pi\/2)$ e disegnare un grafico qualitativo di f.
E qui allora mi viene da pensare che debba risolverlo per forza. Ho provato in tutti i modi, con formule parametriche, per parti, per sostituzione, poi ho cercato su internet e la soluzione è assurda, deduco che io sia totalmente fuori strada, qualcuno potrebbe darmi un consiglio in merito?
Risposte
Il dominio della funzione $g(t)=\log(\cos(t))$ mi pare sbagliato. Dovendo richiedere che l'argomento del logaritmo sia positivo, dovrai impostare e risolvere la disequazione goniometrica elementare
$\cos(t)>0$
da cui $-\frac{\pi}{2}+2k\pi
$f(x)=\int_{x_0}^{x}g(t)dt$
dev'essere un intervallo contenente $x_0$, potrai concentrarti sull'intervallo $I=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ perché è l'unico intervallo su cui è definita $g(t)$ contenente $x_0=0$.
Osserviamo inoltre che per ogni $x\in I$ la funzione integranda è continua nell'intervallo di estremi $[0,x]$ (oppure su $[x,0]$ se $x<0$) e per teorema $g(t)$ è ivi integrabile, ciò vuol dire che l'intervallo $I$ è un sottoinsieme del dominio della funzione integrale $I\subset \mbox{dom}(f)$.
Per concludere l'analisi relativa al dominio, dobbiamo comprendere cosa succede agli estremi di $I$. Per $x=\pm\frac{\pi}{2}$,
$\int_{0}^{x}\log(\cos(t))dt$
diventa un'integrale improprio di prima specie convergente (lo sapresti dimostrare?), pertanto i valori $x=\pm\frac{\pi}{2}$ appartengono al dominio di $f(x)$.
$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\subseteq\mbox{dom}(f)$
A questo punto devi farti questa domanda: la variabile $x$ può "sforare"? Più precisamente, se $x$ assume valori diversi da quelli dell'insieme $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ cosa succede alla funzione integranda? E alla funzione integrale?
$\cos(t)>0$
da cui $-\frac{\pi}{2}+2k\pi
$f(x)=\int_{x_0}^{x}g(t)dt$
dev'essere un intervallo contenente $x_0$, potrai concentrarti sull'intervallo $I=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ perché è l'unico intervallo su cui è definita $g(t)$ contenente $x_0=0$.
Osserviamo inoltre che per ogni $x\in I$ la funzione integranda è continua nell'intervallo di estremi $[0,x]$ (oppure su $[x,0]$ se $x<0$) e per teorema $g(t)$ è ivi integrabile, ciò vuol dire che l'intervallo $I$ è un sottoinsieme del dominio della funzione integrale $I\subset \mbox{dom}(f)$.
Per concludere l'analisi relativa al dominio, dobbiamo comprendere cosa succede agli estremi di $I$. Per $x=\pm\frac{\pi}{2}$,
$\int_{0}^{x}\log(\cos(t))dt$
diventa un'integrale improprio di prima specie convergente (lo sapresti dimostrare?), pertanto i valori $x=\pm\frac{\pi}{2}$ appartengono al dominio di $f(x)$.
$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\subseteq\mbox{dom}(f)$
A questo punto devi farti questa domanda: la variabile $x$ può "sforare"? Più precisamente, se $x$ assume valori diversi da quelli dell'insieme $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ cosa succede alla funzione integranda? E alla funzione integrale?
Dimostrerei che converge perche se cerco l'ordine di $g(t)$ con cui va a $-infty$ mi da che la derivata 1° non esiste , deduco che sia minore di uno. Ma non so se è corretto come ragionamento. In generale per cercare un ordine di una funzione composta derivo e vedo quando il polinomio di taylor in quel punto è diverso da 0.
Comunque per le x che non appartengono a quell'intervello direi che essendo $-infty$ il rapporto incrementale in quei punti probabilmente $f(x)$ ha un punto di cuspide e dunque non sarà derivabile, ma essendo periodica avrà altre primitive definite in tutti gli intervalli, no? Ma c'entra anche con gli altri due punti?
Comunque per le x che non appartengono a quell'intervello direi che essendo $-infty$ il rapporto incrementale in quei punti probabilmente $f(x)$ ha un punto di cuspide e dunque non sarà derivabile, ma essendo periodica avrà altre primitive definite in tutti gli intervalli, no? Ma c'entra anche con gli altri due punti?
Ok ci sto guardando, ma dunque i punti dopo richiedono la risoluzione?
Non capisco perche metta che $\int_{0}^{\pi/2} log(cost) dt = \int_{0}^{\pi/2} log(sint)dt$
Se nel primo integrale sostituisci $t $ con $\pi/2 - t $ trovi il secondo.
ah ok ! Quindi i punti a seguire vanno risolti per forza trovando la primitiva?
Non ho capito questo passaggio: (L'ho riadattato al mio dato che è uguale solo con estremi di integrazione differenti, quindi la risoluzione sarà simile:
$I=-1/2\int_{0}^{x}ln(sin(2t))dt-1/2xln2=-1/4\int_{0}^{2x}ln(sin(u))du-1/2xln2=-1/2\int_{0}^{x}ln(sin(2t))dt-1/2xln2=I/2-1/2xln2$
Non trovo il senso logico
$I=-1/2\int_{0}^{x}ln(sin(2t))dt-1/2xln2=-1/4\int_{0}^{2x}ln(sin(u))du-1/2xln2=-1/2\int_{0}^{x}ln(sin(2t))dt-1/2xln2=I/2-1/2xln2$
Non trovo il senso logico
qualcuno ha idee?
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