Funzione integrale, limiti ordini di infinito e infinitesimo

[Knuckles1]

$F(x)=\int_0^xg(t)dt$

con $g(t)=(e^t-1)/((t+2)(root(5)(t^2-arctgt^2)))$

Allora il numeratore si annulla per t=0;
il denominatore si annulla per t=-2, t=0;

$I_f=(-oo,-2)uu(-2,0)uu(0,+oo)$

$lim_(t->0^-)g(t)=-oo$ e il prof dice di ordine $1/5(6/5-1)<1$ PERCHE'? CHE PASSAGGI HA FATTO?

poi fa il limite per t che tende a 0 da destra viene $+oo$ e dice di ordine $1/5<1$ PERCHE'?

[Camillo]

Per $t rarr 0 $ ricorda gli sviluppi asintotici delle funzioni $e^t; arctg t $ .
In questo caso è sufficienet sviluppare così
$ e^t =1+t+o(t) $
$arctg t = t-t^3/3 +o(t^3) $
calcola poi lo sviluppo di $arctg t^2 $ , sostituisci e fai un po' di conti e vedrai che $g(x) $ è asintotica a $t/(k*t^(6/5))$ , sempre per $t rarr 0 $ naturalemnte.....
Edit : corretto errore di scrittura , è giusto $arctg t^2 $ e non $ arctg^2 t $ .

[Knuckles1]

ok... però perchè il prof ottine quell'ordine? non ho molto capito la tua risposta... se puoi essere più dettagliato mi faresti un enorme favore .... grazie

[Camillo]

Dire che $g(x) $ , per $x rarr 0 $ è asintotica a $t/(k*t^(6/5))$ vuol dire che si comporta, nell'intorno di $0 $
come $t/(k*t^(6/5)$=$ 1/(k*t^(1/5))$.
Se non ti è chiaro chiedi...

[Knuckles1]

non mi è chiaro perchè non capisco cosa fai... da dove esce quel k... scusa ma la matematica non è la mia materia preferita...

[Camillo]

"Knuckles":non mi è chiaro perchè non capisco cosa fai... da dove esce quel k... scusa ma la matematica non è la mia materia preferita...

Ok, facciamo i conti per esteso e vediamo a cosa esattamente $g(x) $ è asintotica quando $ x rarr 0 $.
Si era detto :
$e^t = 1+t+o(t) $
$arctg t = t-t^3/3+o(t^3 ) $ e quindi
$arctg t^2 = t^2- t^6/3 +o(t^6)$
pertanto posso riscrivere $g(t) $ come $(1+t-1)/(2*(t^2-t^2+t^6/3)^(1/5))$= $ t/(2*(t^6/3)^(1/5))$=$ 1/((2/3^(1/5))t^(6/5))= 1/((2/3^(1/5))t^(1/5) )$
Avevo chiamato $ k = 2/(3^(1/5)) $ , è un numero poco importa quanto valga basta che non sia $0 $ .

[Knuckles1]

ok... però la mia domanda era sugli ordini........

[Camillo]

Dalla formula data per $ g(t) $ si deduce che , per $t rarr 0 ^(+-) $ la funzione $g(t) $ tende a $+- oo$ con ordine di infinito pari appunto a $1/5< 1 $ che è l'esponente di $t $.Quindi la funzione è integrabile nell'intorno di $ t=0 $

[Knuckles1]

e il $6/5-1$del prof da dov è uscito?

[Camillo]

Da $t/t^(6/5) =1/t^(6/5-1)=1/t^(1/5)$.