Funzione integrale infinita o infinitesima
Ciao a tutti, se in un esercizio mi viene chiesto di calcolare la parte principale di una funzione per x che tende ad un determinato valore, significa che devo confrontarla con l'infinito o infinitesimo campione elevato alla alfa(numero reale) e vedere per quali alfa il limite esiste finito.
Il mio problema però è che non riesco a capire come vedere se per x che tende ad un certo valore la funzione integrale è infinita o infinitesima e quindi non so con qualche campione confrontarla.
Il mio problema però è che non riesco a capire come vedere se per x che tende ad un certo valore la funzione integrale è infinita o infinitesima e quindi non so con qualche campione confrontarla.
Risposte
Ciao!
Posta un esempio e lavoriamo su quello.
Posta un esempio e lavoriamo su quello.
Ok, riporto il testo ed il mio svolgimento:
Sia $F(x) = ∫(ln(1+t)-sin(t))/(t)dt$ con estremo inferiore 1 ed estremo superiore x.
1)Provare che F è continua nel suo dominio $[-1,+∞)$
2)Calcolare la parte principale di F(x) per $x -> +∞$
1)Essendo f(t) continua e quindi integrabile(secondo Riemann) in [-1,+∞) allora F(x) è ivi continua.(penso basti questo per dimostrarlo ma non ne sono sicuro).
2)Per calcolare la parte principale di F(x) per x che tende a $+∞$ devo prima vedere per quali $k$ appartenenti ad R esiste finito il limite per x che tende a $+∞$ di $F(x)/(u(x)^k)$. Dove $u(x)$ è l'infinito o infinitesimo campione e sarà uguale a $1/x$ se F(x) è infinitesima(cioè se il limite per x che tende a $+∞$ di F(x) va a 0) o $x$ se F(x) è infinita.
Come faccio però a capire se F(x) è infinita o infinitesima?
Sia $F(x) = ∫(ln(1+t)-sin(t))/(t)dt$ con estremo inferiore 1 ed estremo superiore x.
1)Provare che F è continua nel suo dominio $[-1,+∞)$
2)Calcolare la parte principale di F(x) per $x -> +∞$
1)Essendo f(t) continua e quindi integrabile(secondo Riemann) in [-1,+∞) allora F(x) è ivi continua.(penso basti questo per dimostrarlo ma non ne sono sicuro).
2)Per calcolare la parte principale di F(x) per x che tende a $+∞$ devo prima vedere per quali $k$ appartenenti ad R esiste finito il limite per x che tende a $+∞$ di $F(x)/(u(x)^k)$. Dove $u(x)$ è l'infinito o infinitesimo campione e sarà uguale a $1/x$ se F(x) è infinitesima(cioè se il limite per x che tende a $+∞$ di F(x) va a 0) o $x$ se F(x) è infinita.
Come faccio però a capire se F(x) è infinita o infinitesima?
In realtà ci sono due problemi per la continuità;
- in $x=0$ si annulla il denominatore
- in $x=-1$ diverge il logaritmo
Hai studiato il comportamento della funzione in questi punti?
- in $x=0$ si annulla il denominatore
- in $x=-1$ diverge il logaritmo
Hai studiato il comportamento della funzione in questi punti?
Per x che tende a 0 sia da destra che da sinistra la funzione va a 0 e quindi in x = 0 non dovrebbero esserci problemi di discontinuità. Invece il punto x = -1 in effetti andrebbe tolto, avrei quindi che F(x) è continua in $(-1,+∞)$. Potrebbe andare?
Si fino a qui va bene poiché in $x=0$ la funzione può essere estesa per continuità; resta soltanto da verificare che la funzione integrale in $x=-1$ ammetta limite.
Questa sequenza di cose ti porta a risolvere il punto $1$.
Questa sequenza di cose ti porta a risolvere il punto $1$.
In x=-1 ammette limite poichè è un infinita di ordine minore di alfa per qualche alfa minore di 1, quindi converge l'integrale.
Ma quindi in generale una funzione integrale è continua nei punti in cui la funzione integranda è integrabile e nei punti in cui converge?(-1 in questo caso)
Ma quindi in generale una funzione integrale è continua nei punti in cui la funzione integranda è integrabile e nei punti in cui converge?(-1 in questo caso)
In generale se una funzione è integrabile su un certo intervallo allora la funzione integrale è continua in quell'intervallo; se la funzione integrale ammette limite agli estremi di un intervallo allora essa può essere estesa ad una funzione continua.
Questo perché sostanzialmente parti dalla locale integrabilità di una funzione e vedi fino a dove ti puoi spingere usando i limiti.
Questo perché sostanzialmente parti dalla locale integrabilità di una funzione e vedi fino a dove ti puoi spingere usando i limiti.
Grazie!
Invece per il secondo punto?
Invece per il secondo punto?
Scusa se rispondo lentamente ma sono sotto esami 
Comunque per il secondo $f(t)=(log(1+t)-sin(t))/t$
Se consideri $1/(tf(t))$ questa quantità tende a $0$ quindi definitivamente $1/t
a questo punto ha senso confrontare $F(x)$ con qualcosa che diverge ovvero un infinito campione del tipo $x^a$ con $a>0$
Nel calcolo di $lim_(x->+infty)(F(x))/x^a$ hai una forma indeterminata e puoi utilizzare utilizzare un famoso teorema per sbarazzarti di quell’integrale.
Comunque per il secondo $f(t)=(log(1+t)-sin(t))/t$
Se consideri $1/(tf(t))$ questa quantità tende a $0$ quindi definitivamente $1/t
a questo punto ha senso confrontare $F(x)$ con qualcosa che diverge ovvero un infinito campione del tipo $x^a$ con $a>0$
Nel calcolo di $lim_(x->+infty)(F(x))/x^a$ hai una forma indeterminata e puoi utilizzare utilizzare un famoso teorema per sbarazzarti di quell’integrale.
Grazie tutto chiaro!
Quindi se $1/(tf(t))$ tendesse a più infinito avrei 1/t > f(t)
e f(t) sarebbe infinitesima anzi che infinita giusto?
Quindi se $1/(tf(t))$ tendesse a più infinito avrei 1/t > f(t)
e f(t) sarebbe infinitesima anzi che infinita giusto?
Si esatto
Sostanzialmente se è quella quantità è infinitesima allora definitivamente è minore di $1$
Se invece è infinita allora definitivamente è maggiore di $1$
È chiaro che usare i limiti in questi casi è una prassi standard ma è anche vero che equivale a sganciare una bomba atomica su una formica
Sostanzialmente se è quella quantità è infinitesima allora definitivamente è minore di $1$
Se invece è infinita allora definitivamente è maggiore di $1$
È chiaro che usare i limiti in questi casi è una prassi standard ma è anche vero che equivale a sganciare una bomba atomica su una formica
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