Funzione integrale estremi orientati

[bosmer-votailprof]

Buonasera a tutti, ho una questione delicata che vorrei discutere.

Mettiamo di avere una funzione integrale $F:R\to R$ definita come $$F(x):= \int_0^xf(t)dt $$
Chiaramente con $f$ integrabile.
Ora fin tanto che $x>0$ non ci sono problemi.
Se $x=0$ dovrei avere $F=0$ per qualunque funzione integranda $f$ è corretto?

Il problema che mi attanaglia è cosa succede per $x<0$ ? Dalle definizioni lette sembra che la strada sia fregarsene, cioè lasciare che l'intervallo d'integrazione cambi orientamento quando la variabile è negativa.
Però questo significa che questa funzione integrale non è più l'area sottesa alla curva per $x<0$ ma è l'opposto di tale area è corretto?
Oppure con questa notazione si sottintende che $F(x)= \int_0^xf(t)dt $ per $x>0$ mentre $F(x)=-\int_0^xf(t)dt =\int_x^0f(t)dt $ se $x<0$ ????

[singularity]

"Bossmer":
Però questo significa che questa funzione integrale non è più l'area sottesa alla curva per $x<0$ ma è l'opposto di tale area è corretto?

Così "a naso" direi di no. Il contributo all'integrale continua ad essere positivo se f è positiva e negativo se f è negativa, purché integri "verso destra".

[bosmer-votailprof]

Si ma il punto è che per $x<0$ non si sta più integrando "verso destra" , salvo che non si sottintenda con quella scrittura quanto ho scritto alla fine del post... il punto è che secondo me a naso non si può dire nulla, perché alla fine penso sia tutta una questione di convenzioni... a me basterebbe capire se le cose stanno come sembra e quindi le funzioni integrali per semplicità di scrittura non corrispondono più "all'area del grafico" oppure se c'è qualche sottintendimento per far si che le funzioni integrali esprimano in ogni caso l'area sottesa al grafico (col segno giusto).

[Studente Anonimo]

In ogni caso:

$F(x)=\int_0^xf(t)dt$

Quindi, se proprio vuoi l'estremo di integrazione minore in basso:

$[x lt 0] rarr [F(x)=\int_0^xf(t)dt=-\int_x^0f(t)dt]$

$[x gt 0] rarr [F(x)=\int_0^xf(t)dt]$

"Bossmer":
... perché alla fine penso sia tutta una questione di convenzioni ...

Se deve essere $[F'(x)=f(x)]$, la convenzione è univocamente determinata.

[bosmer-votailprof]

Ok tutto vero quello che hai scritto, però questo significa che le funzioni integrali non rappresentano l'area sottesa al grafico della loro derivata, tranne che per $x>0$, o sbaglio?

Inoltre $F(0)=0$ per qualunque funzione integrale indipendentemente dall'integranda $f$?
(chiaramente se l'integrale non è fra $0$ e $x$, ma fra $a$ e $x$ allora si avrà $F(a)=0$ sempre)

[Studente Anonimo]

Per convincersi basta un esempio:

$[f(x)=x] rarr [F(x)=\int_0^xtdt=x^2/2]$

In particolare:

$[x lt 0] rarr [F(x) gt 0]$

mentre l'area sottesa dovrebbe essere negativa.

"Bossmer":
Inoltre ...

Ok.

[bosmer-votailprof]

Si si con gli esempi mi ero già convinto da solo di aver ragione, solo che mi sembrava strano dare una definizione di funzione integrale che perde in parte il suo significato geometrico e mantiene solo il suo significato di primitiva...

In ogni caso grazie per le conferme