Funzione integrale, esercizio sul numero di soluzioni
salve a tutti, non riesco a capire il metodo preciso di svolgimento di esercizi come il seguente
la mia idea sarebbe procedere tramite studio di funzione separatamente delle due funzioni, e vedere dove si intersecano, ma credo ci sia un metodo migliore
inoltre il primo è un integrale gaussiano per cui la risoluzione non sarebbe ancora prevista tra gli argomenti di studio di analisi 1 (se risolto con integrali multipli)
per ora ho notato che entrambe le funzioni sono definite sui reali senza che ci siano singolarità
grazie per l'aiuto
la mia idea sarebbe procedere tramite studio di funzione separatamente delle due funzioni, e vedere dove si intersecano, ma credo ci sia un metodo migliore
inoltre il primo è un integrale gaussiano per cui la risoluzione non sarebbe ancora prevista tra gli argomenti di studio di analisi 1 (se risolto con integrali multipli)
per ora ho notato che entrambe le funzioni sono definite sui reali senza che ci siano singolarità
grazie per l'aiuto
Risposte
Io proverei a seguire la tua idea... by the way quell'integrale non lo calcoli neanche con gli integrali multipli, e' impossibile scrivere una primitiva elementare di $e^{-t^2}$, ed e' anche stato dimostrato che e' impossibile.
Ciao Guido,
Determinare quante soluzioni ha l'equazione proposta $\int_0^x e^{-t^2} dt = (x^2 - 1)(x - 1) $ equivale a trovare le soluzioni del sistema seguente:
$\{(y = \int_0^x e^{-t^2} dt),(y = (x^2 - 1)(x - 1)):}$
cioè
$\{(y = \frac{1}{2} sqrt{\pi} erf(x)),(y = (x + 1)(x - 1)^2):}$
Il motivo per cui il sistema è stato riscritto nel secondo modo non è per fare gli "sboroni", ma deriva unicamente dal fatto che la funzione $erf(x)$ è ben nota e tabulata, insieme a sua sorella $erfc(x):= 1 - erf(x) = frac{2}{sqrt{\pi}} \int_x^{+infty} e^{-t^2} dt $; tipicamente i valori di $erf(x)$ tabulati si trovano sostituendo a $e^{-t^2}$ nella definizione il suo sviluppo in serie di Taylor ed integrando, da cui si ottiene l'espressione
$erf(x) = frac{2}{sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n + 1}}{(2n + 1)n!}= frac{2}{sqrt{\pi}}(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - ... )$
ove il numero dei termini della serie da considerare dipende dalla precisione del valore di $erf(x)$ che si desidera ottenere.
Disegnare un grafico qualitativo delle due funzioni $y = \frac{1}{2} sqrt{\pi} erf(x)$ e $y = (x + 1)(x - 1)^2$ e trovare che le soluzioni dell'equazione proposta sono 3 è relativamente semplice, determinare quali sono invece richiede metodi numerici o in alternativa un buon software come Wolfram Alpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F2)+sqrt(pi)+erf(x)+%3D+(x%5E2+-+1)(x+-+1)
Determinare quante soluzioni ha l'equazione proposta $\int_0^x e^{-t^2} dt = (x^2 - 1)(x - 1) $ equivale a trovare le soluzioni del sistema seguente:
$\{(y = \int_0^x e^{-t^2} dt),(y = (x^2 - 1)(x - 1)):}$
cioè
$\{(y = \frac{1}{2} sqrt{\pi} erf(x)),(y = (x + 1)(x - 1)^2):}$
Il motivo per cui il sistema è stato riscritto nel secondo modo non è per fare gli "sboroni", ma deriva unicamente dal fatto che la funzione $erf(x)$ è ben nota e tabulata, insieme a sua sorella $erfc(x):= 1 - erf(x) = frac{2}{sqrt{\pi}} \int_x^{+infty} e^{-t^2} dt $; tipicamente i valori di $erf(x)$ tabulati si trovano sostituendo a $e^{-t^2}$ nella definizione il suo sviluppo in serie di Taylor ed integrando, da cui si ottiene l'espressione
$erf(x) = frac{2}{sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}x^{2n + 1}}{(2n + 1)n!}= frac{2}{sqrt{\pi}}(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - ... )$
ove il numero dei termini della serie da considerare dipende dalla precisione del valore di $erf(x)$ che si desidera ottenere.
Disegnare un grafico qualitativo delle due funzioni $y = \frac{1}{2} sqrt{\pi} erf(x)$ e $y = (x + 1)(x - 1)^2$ e trovare che le soluzioni dell'equazione proposta sono 3 è relativamente semplice, determinare quali sono invece richiede metodi numerici o in alternativa un buon software come Wolfram Alpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F2)+sqrt(pi)+erf(x)+%3D+(x%5E2+-+1)(x+-+1)
Ciao! A parer mio la tua idea migliore è invece proprio quella di studiare separatamente le due funzioni, senza scomodare invece strutture matematiche che magari non hai a tua disposizione; Dal momento che devi soltanto trovare il numero di soluzioni (quindi di intersezioni) tra le due funzioni, facendo un rapido studio qualitativo della funzione integrale puoi chiarirti un po' l'idea di come essa sia fatta senza dover fare conti particolarmente complessi.
In due parole:
Chiamiamo per comodità $ F(x)= \int_0^x e^{-t^2} dt $
Allora in linea di massima quello che ci interessa particolarmente sono il suo segno e il suo andamento.
Per il segno consideri l'integranda $f(x)=e^(-x^2)$ sai che è una funzione sempre positiva. Allora il segno di $F(x)$ sarà concorde con quello di $f(x)$ fintanto che l'estremo superiore di integrazione (nel nostro caso $x$) è maggiore di quello inferiore, che è $0$, quindi $x>0$ e dunque sarà negativa per $x<0$. Per $x=0$ si annulla (banale).
Ora studiamo la derivata prima (che coincide in questo caso con l'integranda) quindi $F'(x)=f(x)=e^(-x^2)$ che come abbiamo già detto è sempre positiva (con un max in $ x=0$), dunque la nostra $F(x)$ sarà sempre crescente.
Ora studiamo rapidamente la $F''(x)=f'(x)=-2xe^(-x^2)$. Essa ha segno positivo per $x<0$ e dunque la $F(x)$ avrà concavità $uu$; si annulla in $x=0$, dove la nostra funzione ha un flesso e ha segno negativo per $x>0$ che ci da concavità $nn$ della funzione.
A questo punto sei in grado di fare un grafichino di massima della funzione (che io al pc qua non so né fare né inserire).
Fatto ciò puoi passare a studiare la parte dx dell'equazione, cioè la funzione $g(x)=(x^2 - 1)(x - 1)$ che è un semplice polinomio di 3° grado e della quale riuscirai subito a capire segno, andamento, massimi, minimi e concavità...etc..
Dall'unione di questi due piccoli studi non ti sarà difficile arrivare alla conclusione che le due funzioni avranno proprio 3 punti di contatto!
In due parole:
Chiamiamo per comodità $ F(x)= \int_0^x e^{-t^2} dt $
Allora in linea di massima quello che ci interessa particolarmente sono il suo segno e il suo andamento.
Per il segno consideri l'integranda $f(x)=e^(-x^2)$ sai che è una funzione sempre positiva. Allora il segno di $F(x)$ sarà concorde con quello di $f(x)$ fintanto che l'estremo superiore di integrazione (nel nostro caso $x$) è maggiore di quello inferiore, che è $0$, quindi $x>0$ e dunque sarà negativa per $x<0$. Per $x=0$ si annulla (banale).
Ora studiamo la derivata prima (che coincide in questo caso con l'integranda) quindi $F'(x)=f(x)=e^(-x^2)$ che come abbiamo già detto è sempre positiva (con un max in $ x=0$), dunque la nostra $F(x)$ sarà sempre crescente.
Ora studiamo rapidamente la $F''(x)=f'(x)=-2xe^(-x^2)$. Essa ha segno positivo per $x<0$ e dunque la $F(x)$ avrà concavità $uu$; si annulla in $x=0$, dove la nostra funzione ha un flesso e ha segno negativo per $x>0$ che ci da concavità $nn$ della funzione.
A questo punto sei in grado di fare un grafichino di massima della funzione (che io al pc qua non so né fare né inserire).
Fatto ciò puoi passare a studiare la parte dx dell'equazione, cioè la funzione $g(x)=(x^2 - 1)(x - 1)$ che è un semplice polinomio di 3° grado e della quale riuscirai subito a capire segno, andamento, massimi, minimi e concavità...etc..
Dall'unione di questi due piccoli studi non ti sarà difficile arrivare alla conclusione che le due funzioni avranno proprio 3 punti di contatto!
Ciao whaks,
Certo: il motivo per cui mi sono ricondotto alla nota funzione $erf(x)$ era proprio per "schivare" lo studio della più complessa delle due funzioni (lo studio dell'altra è proprio banale). Poi ovviamente se la si vuole studiare, lo si fa come giustamente hai suggerito. Al tuo studio di $F(x)$ aggiungerei solo i suoi due asintoti orizzontali:
$F(+infty) := \lim_{x \to +\infty} \int_0^x e^{-t^2} dt = \int_0^{+infty} e^{-t^2} dt = frac{sqrt{\pi}}{2}$
e
$F(-infty) := \lim_{x \to -\infty} \int_0^x e^{-t^2} dt = -\int_0^{+infty} e^{-t^2} dt = - frac{sqrt{\pi}}{2}$
Certo: il motivo per cui mi sono ricondotto alla nota funzione $erf(x)$ era proprio per "schivare" lo studio della più complessa delle due funzioni (lo studio dell'altra è proprio banale). Poi ovviamente se la si vuole studiare, lo si fa come giustamente hai suggerito. Al tuo studio di $F(x)$ aggiungerei solo i suoi due asintoti orizzontali:
$F(+infty) := \lim_{x \to +\infty} \int_0^x e^{-t^2} dt = \int_0^{+infty} e^{-t^2} dt = frac{sqrt{\pi}}{2}$
e
$F(-infty) := \lim_{x \to -\infty} \int_0^x e^{-t^2} dt = -\int_0^{+infty} e^{-t^2} dt = - frac{sqrt{\pi}}{2}$
Si si certo, io ho provato a suggerire una soluzione ''semplice'' nonostante la funzione non sia delle più banali! 
vi ringrazio molto, credo che la soluzione che utilizza la erf(x) non sia quella richiesta, ma solo perchè nel programma del corso non è stata affrontata - altrimenti sarebbe affascinante da usare nella risoluzione 
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