Funzione integrale esercizio
Salve! Ho già aperto un topic su una funzione integrale,ho chiarito alcuni dubbi e ho fatto degli esercizi con più attenzione.
A questo punto vorrei sapere se ho fatto dei passi in avanti,proponendovi questo esercizio che ho svolto questa mattina e che vorrei mi correggeste...
$F(x)=\int_2^{sqrt(x)}(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
osservo che $F(x)=g(h(x))$ dove $h(x)=sqrt(x)$ e $g(x)=\int_2^y(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
Ora,per conoscere il dominio di $F(x)$ devo considrare tutti gli x appartenenti a $D_h=(0,+oo)$ tali che $h(x)inD_g=(-oo,-sqrt(2)/2)uu(sqrt(2)/2,+oo)$
quindi, il dominio $D_f=(0,+oo)$
svolgo ora i limiti alla frontiera:
$lim_(\epsilon->0+)-\int_\epsilon^sqrt(x)(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
per t vicino a 0 $(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))~~1+2t^2$ il cui integrale esiste finito ed è $-22/3$ ...giusto?
$lim_(k->+oo)\int_2^k(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
per $t->+oo$ $(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))~~t/sqrt(2)$ il cui integrale improprio esiste infinito
Faccio poi la derivata prima:
$F'(x)=g'(h(x)) h'(x)= (ln(1+x))/(sqrt(2x-1))(1/2sqrt(x))
lo studio del segno della derivata prima mi dice che la funzione è decrescente tra $(0,1/2)$, in $1/2$ ha una cuspide ed è crescente in $(1/2,+oo)
Potreste dirmi se ho commesso degli errori?
Grazie per la disponibilità!
A questo punto vorrei sapere se ho fatto dei passi in avanti,proponendovi questo esercizio che ho svolto questa mattina e che vorrei mi correggeste...
$F(x)=\int_2^{sqrt(x)}(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
osservo che $F(x)=g(h(x))$ dove $h(x)=sqrt(x)$ e $g(x)=\int_2^y(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
Ora,per conoscere il dominio di $F(x)$ devo considrare tutti gli x appartenenti a $D_h=(0,+oo)$ tali che $h(x)inD_g=(-oo,-sqrt(2)/2)uu(sqrt(2)/2,+oo)$
quindi, il dominio $D_f=(0,+oo)$
svolgo ora i limiti alla frontiera:
$lim_(\epsilon->0+)-\int_\epsilon^sqrt(x)(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
per t vicino a 0 $(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))~~1+2t^2$ il cui integrale esiste finito ed è $-22/3$ ...giusto?
$lim_(k->+oo)\int_2^k(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))dt$
per $t->+oo$ $(ln(1+t^2))/(sqrt(2t^2-1))~~t/sqrt(2)$ il cui integrale improprio esiste infinito
Faccio poi la derivata prima:
$F'(x)=g'(h(x)) h'(x)= (ln(1+x))/(sqrt(2x-1))(1/2sqrt(x))
lo studio del segno della derivata prima mi dice che la funzione è decrescente tra $(0,1/2)$, in $1/2$ ha una cuspide ed è crescente in $(1/2,+oo)
Potreste dirmi se ho commesso degli errori?
Grazie per la disponibilità!
Risposte
"ImpaButty":
Ora,per conoscere il dominio di $F(x)$ devo considerare tutti gli x appartenenti a $D_h=(0,+oo)$ tali che $h(x)inD_g=(-oo,-sqrt(2)/2)uu(sqrt(2)/2,+oo)$
quindi, il dominio $D_f=(0,+oo)$
Mi sembra che qualcosa non quadri in questo passaggio: infatti dici di cercare le [tex]x[/tex] tali che [tex]\sqrt{x} > \frac{\sqrt{2}}{2} \lor \sqrt{x} < -\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] ma poi dai come risultato l'intervallo [tex](0, +\infty)[/tex]. Ti sembra corretta come cosa?
No,ho sbagliato perchè non mi sono posta la domanda come l'hai invece impostata tu e ho inevitabilmente fatto confusione... -_-''
quindi il dominio dovrebbe essere $(1/2,+oo)$...giusto?
quindi il dominio dovrebbe essere $(1/2,+oo)$...giusto?
Come hai letto nella guida di Camillo, una funzione integrale di punto iniziale [tex]$y_0$[/tex] è definita nella più grande intervallo del dominio dell'integrando che contiene [tex]$y_0$[/tex] e nel quale l'integrando stesso è integrabile.
Questo accade perchè l'integrale non può "passare sopra" ai "buchi" del dominio dell'integrando.
Ad esempio, prendi la funzione [tex]$\phi (t):=\sqrt{t^2-1}$[/tex], definita in [tex]$T:=]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty[$[/tex] e considera la funzione integrale [tex]\int_{-2}^y \phi (t)\ \text{d} t[/tex]: ovviamente tale funzione è definita in [tex]$]-\infty ,-1]$[/tex] e però non può essere definita in alcun [tex]$y\geq 1$[/tex], perchè in tal caso ti troveresti a calcolare un integrale del tipo [tex]\int_{-2}^y \phi (t)\ \text{d} t[/tex], il cui intervallo base [tex]$[-2,y]$[/tex] contiene tutti i punti dell'intervallo [tex]$]-1,1[$[/tex] nei quali [tex]$\phi (t)$[/tex] non è definita... E se una funzione non è definita, come pretendi di calcolarne l'integrale?
Quindi nel tuo caso l'insieme di definizione di [tex]$g(y)$[/tex] è il più grande intervallo contenuto nel dominio dell'integrando al quale il punto iniziale [tex]$y_0=2$[/tex] appartiene: tale intervallo è evidentemente [tex]$]\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,+\infty[$[/tex].
Inoltre, studiando la sommabilità dell'integrando a destra di [tex]$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$[/tex], puoi anche stabilire se puoi prolungare [tex]$g(y)$[/tex] con continuità su [tex]$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$[/tex] da destra: in tal modo puoi precisare se l'insieme di definizione di [tex]$g(y)$[/tex] è l'intervallo aperto [tex]$]\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,+\infty[$[/tex] o se puoi prolungare [tex]$g(y)$[/tex] in modo che il suo insieme di definizione sia l'intervallo chiuso [tex]$[\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,+\infty[$[/tex].
Questo accade perchè l'integrale non può "passare sopra" ai "buchi" del dominio dell'integrando.
Ad esempio, prendi la funzione [tex]$\phi (t):=\sqrt{t^2-1}$[/tex], definita in [tex]$T:=]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty[$[/tex] e considera la funzione integrale [tex]\int_{-2}^y \phi (t)\ \text{d} t[/tex]: ovviamente tale funzione è definita in [tex]$]-\infty ,-1]$[/tex] e però non può essere definita in alcun [tex]$y\geq 1$[/tex], perchè in tal caso ti troveresti a calcolare un integrale del tipo [tex]\int_{-2}^y \phi (t)\ \text{d} t[/tex], il cui intervallo base [tex]$[-2,y]$[/tex] contiene tutti i punti dell'intervallo [tex]$]-1,1[$[/tex] nei quali [tex]$\phi (t)$[/tex] non è definita... E se una funzione non è definita, come pretendi di calcolarne l'integrale?
Quindi nel tuo caso l'insieme di definizione di [tex]$g(y)$[/tex] è il più grande intervallo contenuto nel dominio dell'integrando al quale il punto iniziale [tex]$y_0=2$[/tex] appartiene: tale intervallo è evidentemente [tex]$]\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,+\infty[$[/tex].
Inoltre, studiando la sommabilità dell'integrando a destra di [tex]$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$[/tex], puoi anche stabilire se puoi prolungare [tex]$g(y)$[/tex] con continuità su [tex]$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$[/tex] da destra: in tal modo puoi precisare se l'insieme di definizione di [tex]$g(y)$[/tex] è l'intervallo aperto [tex]$]\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,+\infty[$[/tex] o se puoi prolungare [tex]$g(y)$[/tex] in modo che il suo insieme di definizione sia l'intervallo chiuso [tex]$[\tfrac{\sqrt{2}}{2} ,+\infty[$[/tex].
"gugo82":
Come hai letto nella guida di Camillo, una funzione integrale di punto iniziale [tex]$y_0$[/tex] è definita nella più grande intervallo del dominio dell'integrando che contiene [tex]$y_0$[/tex] e nel quale l'integrando stesso è integrabile.
ma questa cosa equivale al dire che "per conoscere il dominio di $F(x)$ devo considerare tutti gli $x in D_h$ tali che $h(x)inD_g$ ?
No.
Equivale a dire che se determini male l'insieme [tex]$D_g$[/tex] (come avevi fatto nel primo post), allora in generale risolverai male la relazione [tex]$h(x)\in D_g$[/tex] e quindi sbaglierai a trovare [tex]$D_f$[/tex].
Ad esempio, se la tua funzione fosse stata:
[tex]$\int_2^{x^3} \frac{\ln (1+t^2)}{\sqrt{2t^2-1}}\ \text{d} t$[/tex]
avresti detto che [tex]$D_f=]-\infty ,\tfrac{1}{\sqrt[6]{2}}[\cup ]\tfrac{1}{\sqrt[6]{2}} ,+\infty[$[/tex], e sarebbe stato un errore grave.
Equivale a dire che se determini male l'insieme [tex]$D_g$[/tex] (come avevi fatto nel primo post), allora in generale risolverai male la relazione [tex]$h(x)\in D_g$[/tex] e quindi sbaglierai a trovare [tex]$D_f$[/tex].
Ad esempio, se la tua funzione fosse stata:
[tex]$\int_2^{x^3} \frac{\ln (1+t^2)}{\sqrt{2t^2-1}}\ \text{d} t$[/tex]
avresti detto che [tex]$D_f=]-\infty ,\tfrac{1}{\sqrt[6]{2}}[\cup ]\tfrac{1}{\sqrt[6]{2}} ,+\infty[$[/tex], e sarebbe stato un errore grave.
ok,ho capito. Mi rimane però un dubbio: raptorista ha detto che la condizione per determinare il dominio di f è trovare degli x tali che $sqrt(x)<-sqrt(2)/2$ e $sqrt(x)>sqrt(2)/2$ (che non sarebbe altro che la versione "analitica" di quello che io ho detto a parole)... facendo così il dominio viene $(1/2,+oo)$ in cui l'estremo di integrazione 2 è contenuto...cosa c'è che ancora mi sfugge?!
Sì, ma sbagli a scrivere la relazione.
Infatti, essendo il dominio di [tex]$g(y)$[/tex] [tex]$D_g=[-\tfrac{1}{\sqrt{2}} ,+\infty[$[/tex], devi risolvere solo la disequazione:
[tex]$\sqrt{x}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex]
per determinare [tex]$D_f$[/tex].
L'altra disequazione, ossia [tex]$\sqrt{x}<-\tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex], non è proprio contemplata nei conti che devi fare; anzi, è un puro caso che la sua presenza non ti abbia portato ad un errore nella determinazione finale di [tex]$D_f$[/tex] (come mostra il controesempio che ti ho fatto nel mio post precedente).
Insomma, se sbagli ad individuare [tex]$D_g$[/tex], in generale, sbagli a determinare [tex]$D_f$[/tex] e quindi sbagli completamente l'esercizio.
Perciò, fa' attenzione.
Infatti, essendo il dominio di [tex]$g(y)$[/tex] [tex]$D_g=[-\tfrac{1}{\sqrt{2}} ,+\infty[$[/tex], devi risolvere solo la disequazione:
[tex]$\sqrt{x}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$[/tex]
per determinare [tex]$D_f$[/tex].
L'altra disequazione, ossia [tex]$\sqrt{x}<-\tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex], non è proprio contemplata nei conti che devi fare; anzi, è un puro caso che la sua presenza non ti abbia portato ad un errore nella determinazione finale di [tex]$D_f$[/tex] (come mostra il controesempio che ti ho fatto nel mio post precedente).
Insomma, se sbagli ad individuare [tex]$D_g$[/tex], in generale, sbagli a determinare [tex]$D_f$[/tex] e quindi sbagli completamente l'esercizio.
Perciò, fa' attenzione.
ok,faccio un breve riassunto su quello che ho capito,tanto per essere sicura di non scrivere più cavolate
$F(x)=g(h(x))$ dove $h(x)=sqrt(x)$ e $g(y)=\int_2^{y} ln(1+t^2)/sqrt(2t^2-1)dt$
il dominio di $h(x)$ è $(0,+oo)$, il dominio dell'integranda è $(-oo,-1/sqrt(2))uu(1/sqrt(2),+oo)$. Per determinare il dominio della funzione $g(x)$ devo vedere qual è l'intervallo dell'insieme di definizione dell'integranda che contiene l'estremo di integrazione 2, quindi $D_g=(1/sqrt(2),+oo)$
Ora,per determinare il dominio di $F(x)$ impongo che $sqrt(x)>1/sqrt(2) -> x>1/2$ ne segue che $D_f=(1/2,+oo)$
...è giusto?!?
$F(x)=g(h(x))$ dove $h(x)=sqrt(x)$ e $g(y)=\int_2^{y} ln(1+t^2)/sqrt(2t^2-1)dt$
il dominio di $h(x)$ è $(0,+oo)$, il dominio dell'integranda è $(-oo,-1/sqrt(2))uu(1/sqrt(2),+oo)$. Per determinare il dominio della funzione $g(x)$ devo vedere qual è l'intervallo dell'insieme di definizione dell'integranda che contiene l'estremo di integrazione 2, quindi $D_g=(1/sqrt(2),+oo)$
Ora,per determinare il dominio di $F(x)$ impongo che $sqrt(x)>1/sqrt(2) -> x>1/2$ ne segue che $D_f=(1/2,+oo)$
...è giusto?!?
Correct! 
Tuttavia, la [tex]$g(y)$[/tex] può essere prolungata su [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] in quanto per [tex]$t\approx \tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] si ha:
[tex]$\ln (1+t^2)\approx \ln \tfrac{3}{2}$[/tex] e [tex]$\sqrt{2t^2-1} =\sqrt{(t-\tfrac{1}{\sqrt{2}})(t+\tfrac{1}{\sqrt{2}})} \approx \sqrt{\tfrac{2}{\sqrt{2}}} \sqrt{t-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}$[/tex],
quindi l'integrando è asintoticamente equivalente a [tex]$\tfrac{C}{\sqrt{t-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}}$[/tex] (con [tex]$C$[/tex] costante opportuna); visto che [tex]$\tfrac{C}{\sqrt{t-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}}$[/tex] è infinita d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex] in [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex], essa è sommabile e perciò anche l'integrando è sommabile intorno a tale punto.
Ne viene che [tex]$D_g=[\tfrac{1}{\sqrt{2}} ,+\infty[$[/tex].
Tuttavia, la [tex]$g(y)$[/tex] può essere prolungata su [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] in quanto per [tex]$t\approx \tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex] si ha:
[tex]$\ln (1+t^2)\approx \ln \tfrac{3}{2}$[/tex] e [tex]$\sqrt{2t^2-1} =\sqrt{(t-\tfrac{1}{\sqrt{2}})(t+\tfrac{1}{\sqrt{2}})} \approx \sqrt{\tfrac{2}{\sqrt{2}}} \sqrt{t-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}$[/tex],
quindi l'integrando è asintoticamente equivalente a [tex]$\tfrac{C}{\sqrt{t-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}}$[/tex] (con [tex]$C$[/tex] costante opportuna); visto che [tex]$\tfrac{C}{\sqrt{t-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}}$[/tex] è infinita d'ordine [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex] in [tex]$\tfrac{1}{\sqrt{2}}$[/tex], essa è sommabile e perciò anche l'integrando è sommabile intorno a tale punto.
Ne viene che [tex]$D_g=[\tfrac{1}{\sqrt{2}} ,+\infty[$[/tex].
evvai! 
per quanto riguarda l'inclusione di $1/2$ nel dominio,era possibile arrivarci notando che quando faccio il limite per $x->1/2$ di $F(x)$ ottengo un numero finito?
ps: grazie per la pazienza!
per quanto riguarda l'inclusione di $1/2$ nel dominio,era possibile arrivarci notando che quando faccio il limite per $x->1/2$ di $F(x)$ ottengo un numero finito?
ps: grazie per la pazienza!
"ImpaButty":
evvai!
per quanto riguarda l'inclusione di $1/2$ nel dominio,era possibile arrivarci notando che quando faccio il limite per $x->1/2$ di $F(x)$ ottengo un numero finito?
ps: grazie per la pazienza!
Edit: ringrazio Rigel per la precisazione
"Raptorista":
Dire che è sommabile o dire che è integrabile in senso generalizzato, a quanto ho capito, sono la stessa cosa!
Il termine "sommabile" si riferisce al fatto che esiste finito l'integrale di $|f|$; in genere si usa nell'ambito della teoria dell'integrazione alla Lebesgue.
Con "integrabile in senso generalizzato" si indica invece il fatto che esista finito un opportuno limite di integrali di $f$; questo termine si usa nell'ambito dell'estensione dell'integrale di Riemann a funzioni illimitate e/o a intervalli di integrazione illimitati.
Consideriamo ad esempio la funzione $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ nella semiretta $[1,+\infty)$,
Essa è integrabile in senso generalizzato, in quanto esiste finito $\lim_{b\to +\infty} \int_1^b f(x) dx$.
Non è invece sommabile in $[1,+\infty)$, in quanto $\int_1^{+\infty} |f(x)| dx = +\infty$.
Per fare un parallelo con le serie numeriche: sommabile = serie assolutamente convergente, integrabile in senso generalizzato = serie convergente.
Ok, grazie della spiegazione
Chiarissimo! Grazie ad entrambi!
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