Funzione integrale definizione e dubbio su un calcolo (domanda semplice)

[kataklisma]

Ciao, ho una domanda che mi mette in crisi (che mi pongo) svolgendo un esercizio di fisica.

Io son che dato un intevrallo $[a,b]$ la funzione integrale F(x) è defiinita come $F(x):=int_a^xf(t) dt$.

Io mi trovo un esercizio del prof di fisica con integrale $-int_x^bp(t)dt$ con intervallo per le x in $(-oo,b]$ (e b<0) di p(t) non ci interessa tanto perché era per uno studio fisico di un'onda e a noi interessa che fisicamente quell'integral (che era posto ad argomento di un exp) dosse negativo.

Il prof analizzandolo dice, dato che $-int_x^b$ ci porta un segno "meno" ho che $int_b^x$ e siccome le x sono vieppiù negative si ha che l'integrale è negativo come voluto. (quindi exp decrescente e fisicmaente valido).

Qui ho una prima domanda:
1) ma quella scritta non è una "funzone integrale" propriamente detta, l'estremo inferiore dovrebbe essere $a$ di [a,b] intervallo, tralasciando che è un integrale improprio quello in p(t) (quindi posso metterci un limite, ma non è questo il problema ora) io non mi ritrovo perché la x stà sotto. Se anche invertissi mi trovo x sopra ma la x è più negativa di b, quindi bel casino perchè quella che potrebbe essere una funzione integrale propriamente detta $int_b^x$ ha $x
Ora avrei una seconda domanda:
2) L'idea è trattarlo non tanto coem funzione integrale ordinaria ma come qualcosa che può rispettare il teroema del calcolo integrale a quel punto ho $-(A(x)-A(b))$ che chiamo la mia funzione $G(x)$ a questo punto posso considerare le x da $(-oo,b]$.
Quindi noto che se la funzione primitiva A(x) è crescente allora (perdonate l'abuso ma si comprende): $A(-oo)-A(b)<0$ e questo è certo perché in effetti essendo strettamente crescente A, per tutte le $x Va bene questa seconda analisi?

Ho tanto bisogno di poter chiarire con qualcuno
vi ringrazio.

[pilloeffe]

Ciao kataklisma,

Benvenuto sul forum!

"kataklisma":$−\int_b^x p(t)dt $ con intervallo per le x in $(−\infty,b]$ (e b<0)

Non capisco perché sostieni che la tua non sarebbe una funzione integrale: ti puoi facilmente ricondurre alla definizione che

"kataklisma":la funzione integrale F(x) è defiinita come $F(x):=\int_a^x f(t)dt$.

semplicemente ponendo $t := - u \implies \text{d}t = - \text{d}u $:

$ −\int_b^x p(t)\text{d}t = \int_{- b}^{-x} p(- u) \text{d}u$

Ora siccome $ x < b $ e $ b < 0 $ allora $ - x > - b $ e ponendo $- b := a $, $- x := z $ e $p(-u) := f(u) $ si ha proprio

$F(z) = \int_a^z f(u) \text{d}u $

[kataklisma]

In effetti non ci avevo proprio pensato, in quel modo ho poi da integrare sull'intervallo $[-b=a,+oo)$, cambiandomi anche gli estremi ed è atutti gli effetti una funz. integrale propriamente detta.

Mi aveva confuso la malizia da fisico del prof (non analista) che ha detto "in $int_b^x$ siccome le x sono vieppiù negative si ha che l'integrale è negativo come voluto", ma non mi tornava per due motivi: il primo era perché appunto l'intervallo era al contrario $(-oo,b]$ rispetto alla funzione integrale, il secondo è che integrare al contrario non ha senso negli integrali alla analisi 1 (non sono mica orientati), quindi la frase da "fisico" mi convinceva poco seppur intuitiva. Da lì erano partiti i miei dubbioni.

Insomma spero di non aver detto stupidaggini no? Vorrebbe dire che ho capito.

Detto questo seconda domanda:

2) L'idea è trattarlo non tanto coem funzione integrale ordinaria ma come qualcosa che può rispettare il teroema del calcolo integrale a quel punto ho $-(A(x)-A(b))$ che chiamo la mia funzione $G(x)$ a questo punto posso considerare le x da $(-oo,b]$.
Quindi noto che se la funzione primitiva A(x) è crescente allora (perdonate l'abuso ma si comprende): $A(-oo)-A(b)<0$ e questo è certo perché in effetti essendo strettamente crescente A, per tutte le $x Va bene questa seconda analisi?

questa mia analisi secondo te va bene?

Many thanks

[pilloeffe]

"kataklisma":questa mia analisi secondo te va bene?

Formalmente non è che sia una meraviglia e non so se è ciò che desideri, ma vediamo di sistemarla un po'...

Supponendo che esista una primitiva $A(x) $ strettamente crescente e diciamo esprimibile mediante funzioni elementari in modo che siano leciti i passaggi qui di seguito, si ha:

$ −\int_b^x p(t)\text{d}t = \int_x^b p(t)\text{d}t = A(b) - A(x) = -[A(x) - A(b)] $

Ora siccome $ x < b < 0 $ e $A(x) $ è strettamente crescente allora $A(x) < A(b) \implies A(x) - A(b) < 0 $; passando al limite per $x \to -\infty $ si ha:

$\lim_{x \to -\infty} [- \int_b^x p(t)\text{d}t] = \lim_{x \to -\infty} \int_x^b p(t)\text{d}t = \int_{-\infty}^b p(t)\text{d}t = A(b) - A(-\infty) = $

$ = - [A(-\infty) - A(b)] > 0 $

[kataklisma]

Hai formalizzato alla perfezione quello che avevo detto in modo raffazzonato. Grazie mille ^^ dubbio dipanato!

Buona estate!

[nasocomio]

Ciao, avrei un esercizio simile ma non mi ci trovo con la soluzione. uso la vostra notazione p ecc...

$int_x^ap(x')dx'$ si vuole calcolare $d/(dx)[int_x^ap(x')dx']=-p(x)$ stando all'esercizio risolto, ora io sono confuso perché ho gli indici di inegrazione scambiati, però ho usato il trick di pilloeffe ma mi ritvorerei con qualcosa tipo (ponendo x'=-u e -a=b e -x=z) $d/(dz)[-int_b^zp(-u)du]=d/(dz)[-int_b^zf(u)du]-f(u)=-p(-u)$


Inoltre ho un dubbio quando si pone: $p(-u)=f(u)$
$int_a^xp(-u)du$ esso può scriversi come $int_a^xf(u)du$ nel senso che p(-u) è una funzione di u che chiamo f, ma cosi facendo mi viene il seguente dubbio; prensiamo un secondo integrale tipo $int_a^x(dp(-u))/(du)du$ posso quinidi scrivere come prima la funzione p come funzione f $int_a^x(df(u))/(du)du$ ho però cosi che $f(u)$ è la primitiva e quindiessendo $p(-u)=f(u)$ allora la primitiva è $p(-u)$, ma questo è sbagliato

[gugo82]

Non vedo perché cambiare la variabile.
Per definizione è:
\[
\int_x^a p(t)\ \text{d} t = - \int_a^x p(t)\ \text{d} t
\]
ed il risultato segue immediatamente.

[kataklisma]

perché la funzione integrale è definita per x in [a,b] con a eseremo inferiore di integraizone.
Io invece avevo un integrale con (-oo,b) se come dici tu scrivessi $int_b^x$ non mi semrba la definizione standard di funzione integrale perché le x corrono nell'intervallo al contrario, l'estrem superiore è più indietro nella retta reale rispetto a b.

Ah scusa forse rispondevi all'utente. beh credo però il punto fosse lo stesso lui ha (-oo,a) e quindi usava il trick di pilloeffe.

[gugo82]

Chiaro che se prendi una definizione inutilmente restrittiva le cose si complicano inutilmente.
Una definizione meno restrittiva aiuta proprio a non spendere energie su rotture di scatole di importanza marginale.
Ad esempio, si potrebbe scegliere (come usualmente si fa) la seguente:

Siano $I sube RR$ un intervallo non banale[nota]Cioè, contenente almeno due punti distinti.[/nota], $f : I -> RR$ una funzione integrabile secondo Riemann su ogni compatto $[a,b] sube I$ ed $x_0$ un punto di $I$.

Si chiama funzione integrale di $f$ con punto iniziale $x_0$ la funzione $F: I -> RR$ definita ponendo:
\[
\forall x \in I,\qquad F(x) := \int_{x_0}^x f(t)\ \text{d} t\;.
\]

Dato che il simbolo $\int_{x_0}^x …$ è definito qualsiasi sia la posizione di $x$ rispetto ad $x_0$ e ne sono note le proprietà (sia quelle dipendenti, sia quelle indipendenti dalla posizione reciproca di $x$ ed $x_0$), non si pone più il problema dell’ordine degli estremi.