Funzione integrale crescente
Salve, mi chiedevo se il seguente fatto è vero:
se [tex]f:[0,+\infty[ \to [0,+\infty[[/tex] è monotona crescente è vero che la funzione
[tex]F(x)=\frac{1}{x}\int_x^{2x} f(t)dt[/tex] per [tex]x>0[/tex] è crescente?
Questo è quanto ho provato: considero [tex]x[/tex] e [tex]h>0[/tex]. Voglio mostrare [tex]F(x+h)-F(x)>0[/tex]quindi
[tex]\frac{1}{x+h}\int_{x+h}^{2x+2h}f-\frac{1}{x}\int_{x}^{2x}f[/tex]
se [tex]x+h>2x[/tex]allora il primo integrale è maggiore di [tex]f(x+h)[/tex] e il secondo è maggiore di
[tex]-f(2x)[/tex]e [tex]f(x+h)-f(2x)>0[/tex]perchè f è crescente, ma nel caso [tex]x+h<2x[/tex] non funziona..
grazie in anticipo!
se [tex]f:[0,+\infty[ \to [0,+\infty[[/tex] è monotona crescente è vero che la funzione
[tex]F(x)=\frac{1}{x}\int_x^{2x} f(t)dt[/tex] per [tex]x>0[/tex] è crescente?
Questo è quanto ho provato: considero [tex]x[/tex] e [tex]h>0[/tex]. Voglio mostrare [tex]F(x+h)-F(x)>0[/tex]quindi
[tex]\frac{1}{x+h}\int_{x+h}^{2x+2h}f-\frac{1}{x}\int_{x}^{2x}f[/tex]
se [tex]x+h>2x[/tex]allora il primo integrale è maggiore di [tex]f(x+h)[/tex] e il secondo è maggiore di
[tex]-f(2x)[/tex]e [tex]f(x+h)-f(2x)>0[/tex]perchè f è crescente, ma nel caso [tex]x+h<2x[/tex] non funziona..
grazie in anticipo!
Risposte
Provo, ma non assicuro nulla dato l'orario. 
Dato che \(f\) è monotona, essa ha un insieme di discontinuità di misura nulla in ogni compatto \([0,n]\) con \(n\in \mathbb{N}\), ergo \(f\) è q.o. continua in \([0,\infty[\); perciò \(F\), oltre che assolutamente continua in \(]0,\infty[\) (per essere prodotto di una funzione regolare per una funzione integrale), è pure q.o. derivabile in \(]0,\infty[\).
Derivando \(F\) si trova:
\[
\begin{split}
F^\prime (x) &= -\frac{1}{x^2} \int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t + \frac{1}{x}\ \left( 2f(2x) - f(x)\right) \\
&= \frac{1}{x}\ \left( 2f(2x) - f(x) -\frac{1}{x}\ \int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t\right) \\
&= \frac{1}{x}\ \left( f(2x) - f(x) +\frac{1}{x}\ \int_x^{2x} \left( f(2x) -f(t)\right)\ \text{d}t \right)
&\geq 0
\end{split}
\]
per q.o. \(x\in ]0,\infty[\), dunque:
\[
F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} F^\prime (t)\ \text{d} t \geq 0
\]
per \(x,h>0\).
Però con queste derivate ci starei attento... Le funzioni derivabili q.o. sono un po' infide.
Dato che \(f\) è monotona, essa ha un insieme di discontinuità di misura nulla in ogni compatto \([0,n]\) con \(n\in \mathbb{N}\), ergo \(f\) è q.o. continua in \([0,\infty[\); perciò \(F\), oltre che assolutamente continua in \(]0,\infty[\) (per essere prodotto di una funzione regolare per una funzione integrale), è pure q.o. derivabile in \(]0,\infty[\).
Derivando \(F\) si trova:
\[
\begin{split}
F^\prime (x) &= -\frac{1}{x^2} \int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t + \frac{1}{x}\ \left( 2f(2x) - f(x)\right) \\
&= \frac{1}{x}\ \left( 2f(2x) - f(x) -\frac{1}{x}\ \int_x^{2x} f(t)\ \text{d} t\right) \\
&= \frac{1}{x}\ \left( f(2x) - f(x) +\frac{1}{x}\ \int_x^{2x} \left( f(2x) -f(t)\right)\ \text{d}t \right)
&\geq 0
\end{split}
\]
per q.o. \(x\in ]0,\infty[\), dunque:
\[
F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h} F^\prime (t)\ \text{d} t \geq 0
\]
per \(x,h>0\).
Però con queste derivate ci starei attento... Le funzioni derivabili q.o. sono un po' infide.
Grazie mi sembra che funzioni! Ho solo un dubbio : l'ultima parte della dimostrazione quando diciamo che [tex]F(x+h)-F(x)=\int_x^{x+h}F'(t)dt \geq 0[/tex] sembra affermare che se ho una funzione derivabile quasi dappertutto con derivata positiva ho che la funzione è crescente. Non potrebbe essere che nei punti in cui non è derivabile 'decresce', cioè assume dei valori minori rispetto ai valori assunti in precedenza?
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