Funzione integrale - conferma

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Ho la funzione integrale

$f(x)=int_x^(+ infty) g(t)=int_x^(+infty) arctan(1/t)/(t^2-t) dt$

Devo:
1) Cercarne il dominio;
2) Disegnarne il grafico.

1) Prima controllo che l'integrale abbia senso controllando la convergenza a $+infty$:

$lim_(t to +infty) arctan(1/t)/(t^2-t) = (0 text( di ordine ?))/(+infty text( di ordine )2)$

Poiché non conosco l'ordine di infinitesimo del numeratore, me lo calcolo a parte rapportandolo con l'infinitesimo campione:

$lim_(u to +infty) arctan(1/u)/(1/u)^alpha=0/0=text(Hopital)Rightarrow (-1/(u^2+1))/(-alpha u^(-alpha-1))=(0 text( di ordine 2))/(0 text( di ordine )alpha +1)=l Leftrightarrow 2=alpha+1 Rightarrow alpha=1$

quindi l'arcontengente in questione è infinitesimo di ordine 1, e perciò:

$lim_(t to +infty) arctan(1/t)/(t^2-t) = (0 text( di ordine )1)/(+infty text( di ordine )2)=0 text( di ordine )1 (=2-1)$

$Rightarrow$ l'integrale all'infinito converge.

Per arrivare al dominio di $f(x)$ studio il dominio di $g(t)$ e poi ne verifico le convergenze:

$text(dom ) g(t)=(-infty,0) cup (0, 1) cup (1, +infty)$

$lim_(t to 1^+) arctan(1/t)/(t(t-1))=arctan1/(0^+ text( di ordine ) 1)=+infty text( di ordine ) 1 Rightarrow text(diverge)$

Poiché l'integrale non può "scavalcare" $1$ da destra, e poiché gli estremi di integrazione vanno da $x$ a $+infty$:

$Rightarrow text(dom ) f(x)=(1,+infty)$

2) Calcolo la derivata di $f(x)$:

$int_x^(+infty) arctan(1/t)/(t^2-t) dt=-int_(+infty)^x arctan(1/t)/(t^2-t) dt$

$Rightarrow f'(x)=-arctan(1/x)/(x^2-x)$

$text(Numeratore:)$
$-arctan(1/x) > 0 <=> x<0$

$text(Denominatore:)$
$(x^2-x)>0 <=> x<0 cup x>1$

$=>$Nel suo dominio $f(x)$ è monotona decrescente.

Inoltre, facendo riferimento al punto (1), poiché
$lim_(x to 1^+) int_x^(+infty)g(t)=+infty$

e

$int_(+infty)^(+infty)g(t)=0$ (estremi uguali)

$=>$ l'andamento del grafico della funzione dovrebbe essere simile al grafico di $1/(x-1)$ (per il solo primo quadrante).

[gugo82]

Come si fa a dire che l'integrando sia un infinitesimo d'ordine \(1\) all'infinito?
Questo è davvero un mistero: infatti, dato che il denominatore è un infinito d'ordine \(2\) e che il numerotore è infinitesimo, l'integrando deve necessariamente essere un infinitesimo d'ordine maggiore di \(2\) all'infinito...

In particolare, dato che \(\arctan y \approx y\) per \(y\to 0\), hai \(\arctan 1/t \approx 1/t\) per \(t\to\pm \infty\); ergo:
\[
\frac{\arctan 1/t}{t^2-t} \approx \frac{1}{t^3}\; ,
\]
per \(t\to +\infty\), perciò l'integrando è un infinitesimo in \(+\infty\) d'ordine \(3\).

Inoltre, passi anche questo errore... Ma è ben più grave il fatto che tu asserisca che una funzione positiva ed infinitesima d'ordine \(1\) all'infinito sia integrabile!
Infatti è ben noto che la funzione \(1/t\) non è integrabile in alcun intervallo del tipo \([a,+\infty[\) (con \(a>0\)).

Per il resto, che la tua funzione integrale fosse strettamente decrescente lo potevi dire anche senza derivare; infatti l'integrando è positivo in \(]1,+\infty[\), dunque per \(x_1 \[
[x_2,+\infty[\subset [x_1,+\infty[ \qquad \Rightarrow \qquad \int_{x_1}^\infty g(t)\ \text{d} t > \int_{x_2}^\infty g(t)\ \text{d} t \qquad \Rightarrow \qquad f(x_1)>f(x_2)
\]
per le proprietà di monotonia dell'integrale di una funzione positiva.

[Brancaleone1]

"gugo82":Come si fa a dire che l'integrando sia un infinitesimo d'ordine \(1\) all'infinito?
Questo è davvero un mistero: infatti, dato che il denominatore è un infinito d'ordine \(2\) e che il numerotore è infinitesimo, l'integrando deve necessariamente essere un infinitesimo d'ordine maggiore di \(2\) all'infinito...

In particolare, dato che \(\arctan y \approx y\) per \(y\to 0\), hai \(\arctan 1/t \approx 1/t\) per \(t\to\pm \infty\); ergo:
\[
\frac{\arctan 1/t}{t^2-t} \approx \frac{1}{t^3}\; ,
\]
per \(t\to +\infty\), perciò l'integrando è un infinitesimo in \(+\infty\) d'ordine \(3\).

Hai ragione, mi sono completamente perso.

"gugo82":Inoltre, passi anche questo errore... Ma è ben più grave il fatto che tu asserisca che una funzione positiva ed infinitesima d'ordine \(1\) all'infinito sia integrabile!
Infatti è ben noto che la funzione \(1/t\) non è integrabile in alcun intervallo del tipo \([a,+\infty[\) (con \(a>0\)).

Non capirò mai come interpretare gli ordini all'infinito

Per il resto, che la tua funzione integrale fosse strettamente decrescente lo potevi dire anche senza derivare; infatti l'integrando è positivo in \(]1,+\infty[\), dunque per \(x_1 \[
[x_2,+\infty[\subset [x_1,+\infty[ \qquad \Rightarrow \qquad \int_{x_1}^\infty g(t)\ \text{d} t > \int_{x_2}^\infty g(t)\ \text{d} t \qquad \Rightarrow \qquad f(x_1)>f(x_2)
\]
per le proprietà di monotonia dell'integrale di una funzione positiva.

Vero, non ci avevo pensato.

[gugo82]

"Brancaleone":[quote="gugo82"]Inoltre, passi anche questo errore... Ma è ben più grave il fatto che tu asserisca che una funzione positiva ed infinitesima d'ordine \(1\) all'infinito sia integrabile!
Infatti è ben noto che la funzione \(1/t\) non è integrabile in alcun intervallo del tipo \([a,+\infty[\) (con \(a>0\)).

Non capirò mai come interpretare gli ordini all'infinito [/quote]
Non c'è bisogno d'interpretare nulla... Devi solo saper applicare il seguente teorema:

Siano \(a\in \mathbb{R}\) ed \(f:[a,\infty) \to \mathbb{R}\) continua in \([a,\infty)\) (o, per lo meno, limitata in \([a,\infty)\) ed integrabile in ogni intervallo compatto contenuto in \([a,\infty)\)).

[*:cgidub25] Se all'infinito \(f\) è un infinitesimo d'ordine non inferiore ad un certo \(p>1\), allora \(f\) è assolutamente integrabile sull'intervallo \([a,\infty)\), ossia l'integrale improprio \(\int_a^\infty |f(x)|\ \text{d} x\) esiste finito.

[/*:m:cgidub25]
[*:cgidub25] Se, invece, all'infinito \(f\) è un infinitesimo d'ordine non superiore ad \(1\), allora \(f\) non è assolutamente integrabile in \([a,\infty)\), cioè si ha \(\int_a^\infty |f(x)|\ \text{d} x =+\infty\).

[/*:m:cgidub25][/list:u:cgidub25]

In particolare, se \(f\) conserva segno costante in \([a,\infty)\), allora \(f\) è impropriamente integrabile nel primo caso e non lo è nel secondo.

Nota che dire che \(f\) è un infinitesimo d'ordine non inferiore a \(p\) significa dire che:
\[
\tag{1}
\exists M> 0:\ |x^p\ f(x)|\leq M \text{ definitivamente intorno a } \infty
\]
mentre dire che \(f\) è un infinitesimo d'ordine non inferiore a \(1\) significa che:
\[
\tag{2}
\exists m>0:\ |x^p\ f(x)|\geq m \text{ definitivamente intorno a } \infty\; ;
\]
in particolare, vedi da te che la (1) è soddisfatta se risulta:
\[
\lim_{x\to \infty} x^p\ |f(x)|=0
\]
mentre la (2) è soddisfatta se:
\[
\lim_{x\to \infty} x^p\ |f(x)|=+\infty
\]
e che tali due condizioni sono sufficienti, ma nient'affatto necessarie, affinché sussistano le (1) e (2).