Funzione Integrale con segno e mantissa intervallo da 2 a 4

[viri1]

Ciao a tutti volevo chiedervi aiuto, sto studiando una funzione:

$ int_(x)^(-2) Segno(man(t)-1 / 3 ) dt $ in questo intervallo: $ [2,4) $

Sapendo che la funzione Mantissa è: $ man(t)=t-[t] $

e la funzione Segno è:
$ Segno{ ( t=0 rarr 0 ),( t<0 rarr -1),( t>0 rarr 1 ):} $

Ero arrivato a questa conclusione:
${ ( Sgn(t-2-1/3) rarr 2 Ora dovrei applicare la funzione segno ma ho dei dubbi su come applicarla
Premettendo che $ t-7/3 $ è una retta crescente, come anche $ t-10/3 $ ,

il risultato finale sarà di questo tipo?
$ f(t){ ( t<10/3 rarr -1 ),( t>10/3 rarr +1 ),( t<7/3 rarr -1 ),( t>7/3 rarr 1 ):} $

[viri1]

qualcuno mi puo' rispondere...quanto meno confermarmi o smentire....

[gugo82]

In generale sai che:

[tex]$\text{mant} (t):= t-k \text{, se $t \in [k,k+1[$ per qualche $k\in \mathbb{Z}$}$[/tex]

(tra l'altro, mantissa non l'avevo mai usato come nome; sono abituato a chiamarla parte decimale), quindi la funzione argomento del [tex]$\text{sign}$[/tex] è [tex]$\geq 0$[/tex] per [tex]$t\in [k+\tfrac{1}{3}[$[/tex] e [tex]$<0$[/tex] per [tex]$[k,k+\tfrac{1}{3}[$[/tex]; ne consegue che:

[tex]$\text{sign}(\text{mant} (t)-\tfrac{1}{3}) =\begin{cases} 1&\text{, se $t\in ]k+\frac{1}{3} ,k+1[$} \\ 0 &\text{, se $t=k+\frac{1}{3}$} \\ -1 &\text{, se $t\in [k,k+\frac{1}{3}[$}\end{cases} \quad \text{per qualche $k\in \mathbb{Z}$}$[/tex].

A questo punto può giovare fare un disegnino del grafico dell'integrando a partire dal punto [tex]$-2$[/tex]:
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; plot("-1",-2,-1.666); dot([-2,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", -1.666,-1); dot([-1.666,0]);
stroke="red"; plot("-1",-1,-0.666); dot([-1,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", -0.666,0); dot([-0.666,0]);
stroke="red"; plot("-1",0,0.333); dot([0,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", 0.333,1); dot([0.333,0]);
stroke="red"; plot("-1",1,1.333); dot([1,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", 1.333,2); dot([1.333,0]);
stroke="red"; plot("-1",2,2.333); dot([2,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", 2.333,3); dot([2.333,0]);
stroke="red"; plot("-1",3,3.333); dot([3,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", 3.333,4); dot([3.333,0]);
stroke="red"; plot("-1",4,4.333); dot([4,-1]); stroke="dodgerblue"; plot("1", 4.333,5); dot([4.333,0]);[/asvg]

Continuo in spoiler, perchè magari hai già finito, ma se non hai finito non voglio toglierti la sorpresa.

Quindi l'integrale di [tex]$\text{sign}(\text{mant} (t)-\tfrac{1}{3})$[/tex] esteso all'intervallo [tex]$[-2,x]$[/tex] è la somma delle aree dei rettangolini formati dal grafico della restrizione della funzione all'intervallo: ad esempio, se [tex]$x=2$[/tex] si ha:
[asvg]xmin=-2;xmax=4;ymin=-3;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; fill="red";
rect([-2,-1],[-1.666,0]);
rect([-1,-1],[-0.666,0]);
rect([0,-1],[0.333,0]);
rect([1,-1],[1.333,0]);
stroke="dodgerblue";fill="dodgerblue";
rect([-1.666,0],[-1,1]);
rect([-0.666,0],[0,1]);
rect([0.333,0],[1,1]);
rect([1.333,0],[2,1]);[/asvg]
con le aree azzurre prese col segno [tex]$+$[/tex] e quelle rosse col segno [tex]$-$[/tex], per cui [tex]$\int_{-2}^2 \text{sign}(\text{mant} (t)-\tfrac{1}{3})\ \text{d} t =4\left( \frac{2}{3} -\frac{1}{3}\right) =\frac{4}{3}$[/tex] (si noti che [tex]$4=[2]+2$[/tex]).
In generale, per [tex]$x\in [2,4]$[/tex] si ha:

[tex]$\int_{-2}^x \text{sign}(\text{mant} (t)-\tfrac{1}{3})\ \text{d} t = \frac{1}{3}\ ([x]+2) - \min \left\{ \text{mant} (x) ,\frac{1}{3} \right\} +\max \left\{ 0, \text{mant} (x) -\frac{1}{3} \right\}$[/tex]

al secondo membro si trovano tre addendi: il primo tiene conto di quanta è l'area delle coppie di rettangolini interi che cadono in [tex]$[-2,x]$[/tex] contati a partire da [tex]$-2$[/tex]; il secondo addendo è l'area dell'eventuale rettangolino negativo non integro oppure integro e spaiato che cade in [tex]$[-2,x]$[/tex]; il terzo addendo è l'area dell'eventuale rettangolino positivo non integro che cade in [tex]$[-2,x]$[/tex].

Per ottenere l'integrale [tex]$\int_x^{-2}$[/tex] (che sembra essere quello che ti serve davvero) basta cambiare segno ad entrambi i membri dell'uguaglianza precedente.
Certo, non abbiamo ottenuto un'espressione comoda, ma meglio di niente...

Il grafico della funzione è fatto a tratti di spezzata; ogni tratto è parallelo ad una delle due bisettrici (il tratto in [tex]$[k,k+\tfrac{1}{3}[$[/tex] è parallelo alla bisettrice I-III, mentre il tratto in [tex]$[k+\tfrac{1}{3} ,k+1[$[/tex] a quella II-IV); la funzione assume il valore [tex]$-\frac{4}{3}$[/tex] in [tex]$2$[/tex] ed il valore [tex]$-2$[/tex] in [tex]$4$[/tex].
[asvg]xmin=0;xmax=4;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
line([2,-1.333],[2.333,-1]);
line([2.333,-1],[3,-1.666]);
line([3,-1.666],[3.333,-1.333]);
line([3.333,-1.333],[4,-2]);[/asvg]
Mi sono divertito a fare due disegnigni; prova a controllare i conti.

[viri1]

Wow sei stato fantastico e completo!
Veramente grazie mille, purtroppo sono "lento di comprendonia" quindi ho bisogno di un po di tempo per acquisirlo come procedimento però è stato più che soddisfiacente
Niente...ti ringrazio e adesso mi ci dedico con un po di tempo