Funzione integrale
Salve a tutti, non riesco a trovare la soluzione corretta al seguente quiz:
La derivata sesta in $x_0=1$ di $\int_(1)^x sin^3(1-t)dt$ vale:
a) Non esiste poiché $F$ non è derivabile 6 volte in $x_0=1$
b) $-1/6$
c) $0$
d) $60$
Dovrebbe essere che $F '(x)=f(x)$ quindi $F ''(x)=f'(x)$
Quindi l'idea dovrebbe essere quella di scrivere lo sviluppo di taylor al quinto ordine, ma cosi facendo mi viene $0$ mentre la risposta corretta dovrebbe essere la d)..
La derivata sesta in $x_0=1$ di $\int_(1)^x sin^3(1-t)dt$ vale:
a) Non esiste poiché $F$ non è derivabile 6 volte in $x_0=1$
b) $-1/6$
c) $0$
d) $60$
Dovrebbe essere che $F '(x)=f(x)$ quindi $F ''(x)=f'(x)$
Quindi l'idea dovrebbe essere quella di scrivere lo sviluppo di taylor al quinto ordine, ma cosi facendo mi viene $0$ mentre la risposta corretta dovrebbe essere la d)..
Risposte
"Obidream":
Quindi l'idea dovrebbe essere quella di scrivere lo sviluppo di taylor al quinto ordine.
Perché ?
"Hadronen":
[quote="Obidream"]Quindi l'idea dovrebbe essere quella di scrivere lo sviluppo di taylor al quinto ordine.
Perché ?[/quote]
Cercavo un modo per evitare di dover derivare 5 volte l'integranda e poi calcolarla nel punto $x_0=1$ ma non saprei come fare..
Semplicemente puoi iniziare a calcolare le derivate una per una:
[tex]F'(x)= \sin^3 (1-x)[/tex]
[tex]F''(x)= -3 \sin^2 (1-x) \cos(1-x)[/tex]
[tex]F'''(x) = 6 \sin(1-x) \cos^2 (1-x) - 3 \sin^3 (1-x) = 6 \sin(1-x) - 9 \sin^3 (1-x)[/tex]
Da qua puoi saltare facilmente alla derivata quinta:
[tex]F^V (x) = -6 \sin(1-x) -9(6 \sin(1-x) - 9 \sin^3 (1-x))[/tex]
Ora dovresti calcolare l'ultima derivata, ma i termini con potenze del seno piu' alte di 1, ti lasciano termini in seno, che nel punto $x=1$ si annullano, quindi interessa solo la derivata di $-60 \sin(1-x)$, che fa $60 \cos(1-x)$, e in $x=1$ fa $60$.
Lo sviluppo in serie dei Taylor si puo' fare, ma nota che e' un seno al cubo, quindi non e' uno di quelli notevoli, ma puo' essere calcolato a partire da quelli.
[tex]F'(x)= \sin^3 (1-x)[/tex]
[tex]F''(x)= -3 \sin^2 (1-x) \cos(1-x)[/tex]
[tex]F'''(x) = 6 \sin(1-x) \cos^2 (1-x) - 3 \sin^3 (1-x) = 6 \sin(1-x) - 9 \sin^3 (1-x)[/tex]
Da qua puoi saltare facilmente alla derivata quinta:
[tex]F^V (x) = -6 \sin(1-x) -9(6 \sin(1-x) - 9 \sin^3 (1-x))[/tex]
Ora dovresti calcolare l'ultima derivata, ma i termini con potenze del seno piu' alte di 1, ti lasciano termini in seno, che nel punto $x=1$ si annullano, quindi interessa solo la derivata di $-60 \sin(1-x)$, che fa $60 \cos(1-x)$, e in $x=1$ fa $60$.
Lo sviluppo in serie dei Taylor si puo' fare, ma nota che e' un seno al cubo, quindi non e' uno di quelli notevoli, ma puo' essere calcolato a partire da quelli.
Grazie per la risposta, prima di tutto 
in effetti senza altre informazioni l'unico modo possibile mi sembra questo... Certo metterlo in un quiz da 3 minuti a domanda non fa piacere però è così..
in effetti senza altre informazioni l'unico modo possibile mi sembra questo... Certo metterlo in un quiz da 3 minuti a domanda non fa piacere però è così..
Sì, è un po' antipatico, ma si può fare in 3 minuti.
Comunque, anche se non è standard andare a pensare al polinomio di Taylor in questi casi, ecco come si risolverebbe (mi è risultato più veloce):
$[(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...] [(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...] [(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...] =$
$ = [(1-x)^2 - 1/6 (1-x)^4 - 1/6 (1-x)^4 + ...] [(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...]$
I termini di ordine 5 sono:
$ - 1/6 (1-x)^5 - 2/6 (1-x)^5 = - 1/2 (1-x)^5$
Ma per il teorema di Taylor questo è:
$ (f^V (1))/(120) (x-1)^5 = - (f^V (1))/(120) (1-x)^5 $
e quindi per confronto $f^V (1) = 60 $.
Comunque, anche se non è standard andare a pensare al polinomio di Taylor in questi casi, ecco come si risolverebbe (mi è risultato più veloce):
$[(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...] [(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...] [(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...] =$
$ = [(1-x)^2 - 1/6 (1-x)^4 - 1/6 (1-x)^4 + ...] [(1-x) - 1/6 (1-x)^3 + 1/(120) (1-x)^5 + ...]$
I termini di ordine 5 sono:
$ - 1/6 (1-x)^5 - 2/6 (1-x)^5 = - 1/2 (1-x)^5$
Ma per il teorema di Taylor questo è:
$ (f^V (1))/(120) (x-1)^5 = - (f^V (1))/(120) (1-x)^5 $
e quindi per confronto $f^V (1) = 60 $.
Grazie per l'interesse, pensavo ad una cosa del genere all'inizio, probabilmente è più intuitivo farsi tutte le derivate per non sbagliare.. può risultare lungo ma è un metodo meccanico che funziona 
Basta calcolare la derivata quinta di \( sin(x)\) in \( x=0 \)
\( sin(x)=x+\frac{x^3}{3!}+x^5g(x) \) con \( g(0) \neq 0\)
\( sin^3(x)=x^3-\frac{x^5}{2}+x^6(....)\)
La derivata quinta in \( x=0 \) è \( \frac{5!}{2}=60\).
\( sin(x)=x+\frac{x^3}{3!}+x^5g(x) \) con \( g(0) \neq 0\)
\( sin^3(x)=x^3-\frac{x^5}{2}+x^6(....)\)
La derivata quinta in \( x=0 \) è \( \frac{5!}{2}=60\).
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