Funzione integrale

[Brancaleone1]

Ciao a tutti!

Ho un serio problema con questa funzione:
\(\displaystyle f(x)=\int_1^x g(t) dt \)

con

\(\displaystyle g(t)=\frac{\sin(\pi t)}{(e^t-1)\sqrt{(t+1)}} \)

La consegna mi chiede di:
1) tracciare il grafico di $f(x)$
2) stabilire se $f(x)$ è invertibile in $x_0=0$ e calcolare, se esiste, \(\displaystyle (f^{-1})' (y_0) \) essendo \(\displaystyle y_0 = f(0) \)
3) si calcoli, se esiste, \(\displaystyle F'(0) \), essendo \(\displaystyle F(x) = f(|x|) \)

1) *Comincio studiando $g(t)$: il suo dominio è \(\displaystyle (-1,0) \cup (0,+\infty) \)
Ne studio i limiti che valgono (se ho fatto i conti giusti):
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow -1^+} \frac{\sin(\pi t)}{(e^t-1)\sqrt{(t+1)}} = 0 \)
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin(\pi t)}{(e^t-1)\sqrt{(t+1)}} = \pi \)
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{\sin(\pi t)}{(e^t-1)\sqrt{(t+1)}} = 0 \)

*Ne studio il segno (=verifico quando f(x) cresce), e trovo che g(t) è positiva negli intervalli \(\displaystyle (-1,0) \cup (0,1] \cup [k,k+1] \) con $k \in \mathbb{N}$ pari

Ora però mi blocco: cosa bisogna fare per continuare?

[Brancaleone1]

Nessuno è in grado di darmi un input?

[Obidream]

Mi sembra che la derivata della funzione integrale sia la seguente:

$\int_(x_0)^(f(x)) g(t)dt$

Questa è la nostra funzione integrale; la derivata dovrebbe essere questa $G '(x)=g(f(x))*f '(x)$

[@melia]

Forse questo può esserti di aiuto.