Funzione integrale

[Arianna2405]

Come fare per calcolare la derivata di una funzione integrale quando la variabile x compare anche all'interno della funzione integranda?
Purtroppo non so usare le formule in questo forum, comunque il mio integrale è definito fra 0 e x^2, mentre la funzione integranda è 1/sen(x-t), con integrale, ovviamente, in dt.
Spero di essermi spiegata. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!

[ciampax]

Vale la regola seguente: se $F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t)\ dt$ allora

$F'(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} {\partial f(x,t)}/{\partial x}\ dt+\beta'(x)\cdot f(x,\beta(x))-\alpha'(x)\cdot f(x,\alpha(x))$

[Arianna2405]

Grazie mille!!! non sai quanto l'ho cercata....

[gugo82]

"iq00123":Grazie mille!!! non sai quanto l'ho cercata....

E c'era bisogno di cercarla?

Bastava notare che:
\[
F(x):=\int_0^{x^2} \frac{1}{\sin (x-t)}\ \text{d} t
\]
è composta da:
\[
\phi (x,y):= \int_0^y \frac{1}{\sin (x-t)}\ \text{d} t \qquad \text{e}\qquad h(x):=x^2
\]
in modo che \(F(x):=\phi (x,h(x))\); quindi per il teorema di derivazione delle funzioni composte:
\[
F^\prime (x) = \phi_x (x,h(x)) + \phi_y (x,h(x))\ h^\prime (x)\; .
\]