Funzione integrale
Salve a tutti, è la prima volta che scrivo qui e innanzi tutto volevo farvi i complimenti per la realizzazione di questo portale; ho letto attentamente tutta la discussione relativa allo studio delle funzioni, ma ho ancora un po' di dubbi sulla risoluzione di una particolare funzione integrale, cioè:
\[ {F}{\left({x}\right)}={\int_{{0}}^{{\cos^2x}}}{\frac{{{{1}}\cdot{\left.{d}{t}\right.}}}{{{{\sqrt[{3}]{\log t}}}}}} \]
ho svolto lo studio dell'integranda, ma non capisco bene i passi successivi; il fatto che il coseno sia periodico con periodo $\pi$ mi indica il fatto che quando studio il limite con x che tende ad infinito, in realtà devo fare il limite con x che tende a $\pi$ ?
Se potreste mostrarmi il corretto svolgimento di tutto lo studio, ve ne sarei davvero grato.
\[ {F}{\left({x}\right)}={\int_{{0}}^{{\cos^2x}}}{\frac{{{{1}}\cdot{\left.{d}{t}\right.}}}{{{{\sqrt[{3}]{\log t}}}}}} \]
ho svolto lo studio dell'integranda, ma non capisco bene i passi successivi; il fatto che il coseno sia periodico con periodo $\pi$ mi indica il fatto che quando studio il limite con x che tende ad infinito, in realtà devo fare il limite con x che tende a $\pi$ ?
Se potreste mostrarmi il corretto svolgimento di tutto lo studio, ve ne sarei davvero grato.
Risposte
Vuoi forse dire che $lim_(x->+oo) cos^2(x)= lim_(x->pi) cos^2(x)$?
"Gi8":
Vuoi forse dire che $lim_(x->+oo) cos^2(x)= lim_(x->pi) cos^2(x)$?
Esatto. Non so se è giusto, ma fare il limite di seno o coseno con x che tende a infinito non ha senso, però sapendo che entrambe le funzioni sono periodiche, posso fare il limite con x che tende fino al rispettivo periodo, che nel caso del \(cos^2x\) è $\pi$.
Mi sa che non hai le idee tanto chiare sui limiti delle funzioni trigonometriche.
- [*:w17u72ev]$lim_(x->pi) (cos^2(x))= cos^2(pi)= 1$[/*:m:w17u72ev]
[*:w17u72ev]$lim_(x->+oo) cos^2(x)$ non esiste[/*:m:w17u72ev][/list:u:w17u72ev]
"Gi8":
Mi sa che non hai le idee tanto chiare sui limiti delle funzioni trigonometriche.
[*:vbel8189]$lim_(x->pi) (cos^2(x))= cos^2(pi)= 1$[/*:m:vbel8189]
[*:vbel8189]$lim_(x->+oo) cos^2(x)$ non esiste[/*:m:vbel8189][/list:u:vbel8189]
Già, infatti ho dei dubbi a riguardo, che si sono presentati proprio durante lo studio di tale funzione. Il fatto che il limite con x che tende a infinito non esiste mi indica direttamente che l'asintoto orizzontale per quella funzione integrale non esiste?
In realtà la tua funzione è periodica e non costante, quindi non può avere limite in \(\pm \infty\)... Perché?
Spero di dire bene...il limite non esiste perchè a + infinito la funzione oscilla tra [-1;1].
In generale, sia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) periodica di periodo \(T>0\).
Se \(f\) non è costante, esistono almeno due punti \(\theta \neq \tau \in [0,T[\) tali che \(f(\theta )\neq f(\tau )\).
Allora consideriamo le successioni di termini generali:
\[
a_n:=\theta +nT,\qquad b_n:=\tau +nT,\qquad c_n:=\theta -nT,\qquad d_n:= \tau -nT\; :
\]
si ha chiaramente:
\[
\lim_n a_n=+\infty =\lim_n b_n \qquad \text{e}\qquad \lim_n c_n=-\infty =\lim_n d_n
\]
e parimenti:
\[
\tag{1} \lim_n f(a_n)=\lim_n f(c_n)=f(\theta) \neq f(\tau) =\lim_n f(b_n)=\lim_n f(d_n)\; .
\]
Conseguentemente i limiti \(\lim_{x\to \pm \infty} f(x)\) non possono esistere (se, per assurdo, esistessero la (1) contradirrebbe il teorema ponte).
Se \(f\) non è costante, esistono almeno due punti \(\theta \neq \tau \in [0,T[\) tali che \(f(\theta )\neq f(\tau )\).
Allora consideriamo le successioni di termini generali:
\[
a_n:=\theta +nT,\qquad b_n:=\tau +nT,\qquad c_n:=\theta -nT,\qquad d_n:= \tau -nT\; :
\]
si ha chiaramente:
\[
\lim_n a_n=+\infty =\lim_n b_n \qquad \text{e}\qquad \lim_n c_n=-\infty =\lim_n d_n
\]
e parimenti:
\[
\tag{1} \lim_n f(a_n)=\lim_n f(c_n)=f(\theta) \neq f(\tau) =\lim_n f(b_n)=\lim_n f(d_n)\; .
\]
Conseguentemente i limiti \(\lim_{x\to \pm \infty} f(x)\) non possono esistere (se, per assurdo, esistessero la (1) contradirrebbe il teorema ponte).
Ok, grazie mille, ora ho più chiaro il concetto di limite di funzione trigonometrica.
Però riguardo alla funzione integrale, non capisco una cosa: nello svolgimento corretto si afferma che la funzione è periodica in $\2pi$ ed essendo pari, posso studiarla solo da [0;$\pi$]. Questa proprio non l'ho capita, ho guardato ogni tipo di appunto, studiato sul libro ma non capisco perché dice che è periodica di $\2pi$ ; io so che il coseno ha periodicità $\2pi$, ma pensavo che $cos^2 x$ fosse periodico con periodo $\pi$. Anche perché successivamente si afferma che è sufficiente studiarla da [0;$\pi$], e non da [0;$\2pi$].
Qualcuno mi sa spiegare il perché di queste affermazioni?
Però riguardo alla funzione integrale, non capisco una cosa: nello svolgimento corretto si afferma che la funzione è periodica in $\2pi$ ed essendo pari, posso studiarla solo da [0;$\pi$]. Questa proprio non l'ho capita, ho guardato ogni tipo di appunto, studiato sul libro ma non capisco perché dice che è periodica di $\2pi$ ; io so che il coseno ha periodicità $\2pi$, ma pensavo che $cos^2 x$ fosse periodico con periodo $\pi$. Anche perché successivamente si afferma che è sufficiente studiarla da [0;$\pi$], e non da [0;$\2pi$].
Qualcuno mi sa spiegare il perché di queste affermazioni?
Errore di battitura. Voleva scrivere \(\pi\), ma gli è partito un \(2\) in più nel periodo...
Ma poi, a quel punto, data la parità basta studiarsi solo cosa succede in \([0,\pi/2]\) (per poi riportarsi tutto anche in \([-\pi/2,0]\)).
Ma poi, a quel punto, data la parità basta studiarsi solo cosa succede in \([0,\pi/2]\) (per poi riportarsi tutto anche in \([-\pi/2,0]\)).
Non so se è stato un errore, perché lo svolgimento è scritto a mano, però è possibile. Comunque...l'intervallo è [0;$\pi/2$] ?
Io mi baso su questa immagine, però se mi dici che è [0;$\pi/2$], allora ci rifletto meglio.
Comunque intanto ti ringrazio del supporto dato, e della pazienza.
Io mi baso su questa immagine, però se mi dici che è [0;$\pi/2$], allora ci rifletto meglio.
Comunque intanto ti ringrazio del supporto dato, e della pazienza.
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