Funzione integrale

[luisa6]

Dimostrare che la funzione ha un solo zero reale e disegnarne il grafico, noto come seno di Fresnel.

Grazie
luisa

[Camillo]

Ti posso dare uno spunto : vai a vedere il sito :http://mathworld.wolfram.com/FresnelIntegrals.html
Subito in alto c'è a sinistra il grafico di coseno di Fresnel e a destra il grafico di seno di Fresnel.
Però la trua domanda è più precisa lo so..
ciao
Camillo

[Camillo]

Aggiungo qualche altra considerazione sulla funzione seno di Fresnel.
Dalla definizione stessa appare che f(0)=0.
Mi limito a considerare la funzione per x>=0 .
Si dimostra( usando la teoria dei residui ) che il limite per x che tende a +00 della funzione vale : ½.
Come si possa arrivare a questo risultato con metodi più elementari ( cioè di Analisi I e non Analisi III )non so :
si faccia avanti chi ne fosse a conoscenza.
Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene facilmente che :
f ’(x) = sen(pi*x2/2) .
E’ così possible studiare gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce.
Da : sen(pi*x2/2) = 0 si ottiene : pi*x2/2=k*pi e quindi, limitandoci ai valori positivi di x si ottiene : x= sqrt(2*k) e pertanto i valori sono :
0,sqrt(2), 2, sqrt(6), 2*sqrt(2) etc.
Si vede poi facilmente che : x=sqrt(2) ; x=sqrt(6) ; x=sqrt(10) etc. sono punti di max. relativo mentre x=2; x=2*sqrt(2); x=2*sqrt(3) etc. sono punti di minimo relativo.
Calcolando f ‘’(x) si ottiene : x*pi*cos(pi*x2/2) e quindi si ha che : x=0 è punto di flesso a tangente orizzontale e i punti x=1;x=sqrt(3) sono punti di flesso.
La funzione quindi è crescente da 0 (partendo con tangente orizzontale ) e alterna max, flessi e minimi relativi fino a tendere asintoticamente al valore ½ per x che tende a +00.
Il grafico è mostrato qui sotto ed è quello a destra ( a sinistra è invece la funzione coseno di Fresnel.

ciao
Camillo



Modificato da - camillo il 07/10/2003 12:00:14

[fireball1]

Caro Camillo, non bisogna mai scrivere i nomi dei files con spazi in mezzo! Nel tuo caso hai scritto seno e coseno Fresnel.gif (che non compare tra l'altro, perché non hai scritto [img] all'inizio). Avresti dovuto scrivere così, per esempio: sin_cos_fresnel.gif

Poi comunque per inserire l'immagine devi digitare http://utentiforum.supereva.it/camillo/immagine.jpg

Se proprio vuoi scrivere i nomi dei files con gli spazi in mezzo, allora devi racchiudere tra virgolette il tutto, cioè "seno e coseno Fresnel.gif". Ma meglio non usare questa modalità...

Dunque per inserire l'immagine, questa è la stringa corretta (cambio img in ing per non farla riconoscere al forum):

[ing]http://utentiforum.supereva.it/camillo/sin_cos_fresnel.gif[/ing]

fireball

[Camillo]

Dunque funziona !!
ciao
Camillo