Funzione Integrale
Salve a tutti, sono nuovo di qui. Volevo chiedervi se sapevate risolvere questo integrale del mio esame di matematica, perché non l'ho saputo risolvere e me lo chiederà sicuramente all'esame orale. Grazie mille a tutti
4. Data la funzione
$ f(x)=1/(x-3√x+2) $
a) Trovare la primitiva $ F(x) $ di $ f(x) $ tale che $ F(0) = log(16) $
b) Calcolare $ \int_{0}^{1/4} f(x) dx $
c) calcolare l'integrale indefinito $ \int [f(x)/{F(x)}] dx $ (MAX 9 PUNTI)
4. Data la funzione
$ f(x)=1/(x-3√x+2) $
a) Trovare la primitiva $ F(x) $ di $ f(x) $ tale che $ F(0) = log(16) $
b) Calcolare $ \int_{0}^{1/4} f(x) dx $
c) calcolare l'integrale indefinito $ \int [f(x)/{F(x)}] dx $ (MAX 9 PUNTI)
Risposte
Ciao arathon89,
Benvenuto. Visto l'orario, ti dò solo qualche suggerimento per la soluzione. Per risolvere l'integrale indefinito poni $t := sqrt x$. Dopo una decomposizione in fratti semplici troverai facilmente la soluzione e, ricordando che $t := sqrt x$, otterrai
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x) + c$
a) Dalla condizione $F(0) = ln(16)$ si ottiene $c = 0$. per cui la primitiva cercata è $F(x) = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x)$;
b)
$\int_0^{frac{1}{4}} f(x) dx = [4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x)]_0^{frac{1}{4}} = 4 ln frac{3}{2} - 2 ln frac{1}{2} - 4 ln 2 + 2 ln 1 = 4 ln frac{3}{4} - ln frac{1}{4} = ln frac{81}{256} \cdot 4 = ln frac{81}{64} = 2 ln frac{9}{8}$
c) Puoi proseguire tu...
Benvenuto. Visto l'orario, ti dò solo qualche suggerimento per la soluzione. Per risolvere l'integrale indefinito poni $t := sqrt x$. Dopo una decomposizione in fratti semplici troverai facilmente la soluzione e, ricordando che $t := sqrt x$, otterrai
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x) + c$
a) Dalla condizione $F(0) = ln(16)$ si ottiene $c = 0$. per cui la primitiva cercata è $F(x) = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x)$;
b)
$\int_0^{frac{1}{4}} f(x) dx = [4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x)]_0^{frac{1}{4}} = 4 ln frac{3}{2} - 2 ln frac{1}{2} - 4 ln 2 + 2 ln 1 = 4 ln frac{3}{4} - ln frac{1}{4} = ln frac{81}{256} \cdot 4 = ln frac{81}{64} = 2 ln frac{9}{8}$
c) Puoi proseguire tu...
Grazie mille per la risposta! 
ragazzi, ho risolto l'integrale, ma non capisco perché a voi venga 2 -radice x e di conseguenza anche l'altro logaritmo.
A me viene al contrario
A me viene al contrario
Ciao arathon89,
Dai, fai uno sforzo per scrivere in LATEX, così sei più chiaro: se proprio non vuoi leggerti la guida https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html, metti le formule matematiche fra due simboli di dollaro... La radice quadrata di $x$ si scrive sqrt x, sempre fra due simboli di dollaro. Non capisco cosa intendi per "al contrario", ma se intendi $sqrt x - 2$ può essere, anche perché in realtà l'argomento dei logaritmi deve essere positivo, quindi più correttamente il risultato va scritto coi moduli:
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln |1 - sqrt x| + c$
Siccome però gli estremi dell'integrale definito della domanda b) sono $0$ e $frac{1}{4}$, conviene scriverlo proprio così:
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln(1 - sqrt x) + c$
perché se scrivi "al contrario" come dici tu, cioè immagino
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(sqrt x - 2) - 2 ln(sqrt x - 1) + c$
poi quando nell'integrale definito vai a sostituire a $x$ i valori $0$ e $frac{1}{4}$ gli argomenti dei logaritmi ti risultano negativi, e a quel punto ti devi ricordare di quei moduli che diventano indispensabili...
Dai, fai uno sforzo per scrivere in LATEX, così sei più chiaro: se proprio non vuoi leggerti la guida https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html, metti le formule matematiche fra due simboli di dollaro... La radice quadrata di $x$ si scrive sqrt x, sempre fra due simboli di dollaro. Non capisco cosa intendi per "al contrario", ma se intendi $sqrt x - 2$ può essere, anche perché in realtà l'argomento dei logaritmi deve essere positivo, quindi più correttamente il risultato va scritto coi moduli:
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln |1 - sqrt x| + c$
Siccome però gli estremi dell'integrale definito della domanda b) sono $0$ e $frac{1}{4}$, conviene scriverlo proprio così:
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln(1 - sqrt x) + c$
perché se scrivi "al contrario" come dici tu, cioè immagino
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(sqrt x - 2) - 2 ln(sqrt x - 1) + c$
poi quando nell'integrale definito vai a sostituire a $x$ i valori $0$ e $frac{1}{4}$ gli argomenti dei logaritmi ti risultano negativi, e a quel punto ti devi ricordare di quei moduli che diventano indispensabili...
Grazie ancora per le tue risposte. Sì lo so, scusami ma sono un po' infognato con matematica (e anche preoccupato) e non ci faccio caso. Grazie ancora!
"pilloeffe":
Ciao arathon89,
Benvenuto. Visto l'orario, ti dò solo qualche suggerimento per la soluzione. Per risolvere l'integrale indefinito poni $t := sqrt x$. Dopo una decomposizione in fratti semplici troverai facilmente la soluzione e, ricordando che $t := sqrt x$, otterrai
$F(x) = \int f(x) dx = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x) + c$
a) Dalla condizione $F(0) = ln(16)$ si ottiene $c = 0$. per cui la primitiva cercata è $F(x) = 4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x)$;
b)
$\int_0^{frac{1}{4}} f(x) dx = [4 ln(2 - sqrt x) - 2 ln (1 - sqrt x)]_0^{frac{1}{4}} = 4 ln frac{3}{2} - 2 ln frac{1}{2} - 4 ln 2 + 2 ln 1 = 4 ln frac{3}{4} - ln frac{1}{4} = ln frac{81}{256} \cdot 4 = ln frac{81}{64} = 2 ln frac{9}{8}$
c) Puoi proseguire tu...
Ciao pilloeffe
la prossima settimana avrò l'orale di matematica e volevo chiederti se potresti farmi un grosso favore..
Non riesco a capire il punto C dell'esercizio. Potresti spiegarmelo se hai tempo? Grazie infinite
Ciao arathon89,
Giusto perché hai l'esame eh...
c) Viene richiesto di calcolare $\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx $, cioè
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int frac{dx}{(x-3sqrt{x}+2)[4 ln|2 - sqrt x|- 2 ln|1 - sqrt x|]} $
Ora, a prima vista l'integrale sembrerebbe "impestato", però ci si può ricondurre ad un integrale molto semplice se solo si tiene presente che $F'(x) = f(x)$, per cui posto $t := 4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln|1 - sqrt x| \implies dt = frac{dx}{x-3sqrt{x}+2} $ e l'integrale diventa semplicemente il seguente:
$\int frac{dt}{t} = ln|t| + c $
Per cui si ha:
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int frac{dx}{(x-3sqrt{x}+2)[4 ln|2 - sqrt x|- 2 ln|1 - sqrt x|]} = \int frac{dt}{t} = ln|t| + c = $
$= ln|4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln|1 - sqrt x|| + c = ln|ln|1 - sqrt x| - 2 ln|2 - sqrt x|| + k$
In generale, se ti viene richiesto $\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx $, tenendo presente che $F'(x) = f(x)$, si ha:
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int [frac{F'(x)}{F(x)}] dx = ln|F(x)| + c $
Giusto perché hai l'esame eh...
c) Viene richiesto di calcolare $\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx $, cioè
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int frac{dx}{(x-3sqrt{x}+2)[4 ln|2 - sqrt x|- 2 ln|1 - sqrt x|]} $
Ora, a prima vista l'integrale sembrerebbe "impestato", però ci si può ricondurre ad un integrale molto semplice se solo si tiene presente che $F'(x) = f(x)$, per cui posto $t := 4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln|1 - sqrt x| \implies dt = frac{dx}{x-3sqrt{x}+2} $ e l'integrale diventa semplicemente il seguente:
$\int frac{dt}{t} = ln|t| + c $
Per cui si ha:
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int frac{dx}{(x-3sqrt{x}+2)[4 ln|2 - sqrt x|- 2 ln|1 - sqrt x|]} = \int frac{dt}{t} = ln|t| + c = $
$= ln|4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln|1 - sqrt x|| + c = ln|ln|1 - sqrt x| - 2 ln|2 - sqrt x|| + k$
In generale, se ti viene richiesto $\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx $, tenendo presente che $F'(x) = f(x)$, si ha:
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int [frac{F'(x)}{F(x)}] dx = ln|F(x)| + c $
"pilloeffe":
Ciao arathon89,
Giusto perché hai l'esame eh...
c) Viene richiesto di calcolare $\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx $, cioè
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int frac{dx}{(x-3sqrt{x}+2)[4 ln|2 - sqrt x|- 2 ln|1 - sqrt x|]} $
Ora, a prima vista l'integrale sembrerebbe "impestato", però ci si può ricondurre ad un integrale molto semplice se solo si tiene presente che $F'(x) = f(x)$, per cui posto $t := 4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln|1 - sqrt x| \implies dt = frac{dx}{x-3sqrt{x}+2} $ e l'integrale diventa semplicemente il seguente:
$\int frac{dt}{t} = ln|t| + c $
Per cui si ha:
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int frac{dx}{(x-3sqrt{x}+2)[4 ln|2 - sqrt x|- 2 ln|1 - sqrt x|]} = \int frac{dt}{t} = ln|t| + c = $
$= ln|4 ln|2 - sqrt x| - 2 ln|1 - sqrt x|| + c = ln|ln|1 - sqrt x| - 2 ln|2 - sqrt x|| + k$
In generale, se ti viene richiesto $\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx $, tenendo presente che $F'(x) = f(x)$, si ha:
$\int [frac{f(x)}{F(x)}] dx = \int [frac{F'(x)}{F(x)}] dx = ln|F(x)| + c $
Ti posso amare ? xD Grazie mille
se passo l'esame orale ti contatterò!!!!!
Grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
"arathon89":
Grazie mille
Prego!
"arathon89":
se passo l'esame orale ti contatterò!!!!!
Sì, dai, fammi sapere, magari con un mp...
Ora chiedo io una cortesia a te: quando sei comodo, cioè con calma, anche dopo l'esame, non è che potresti cortesemente eliminare quella brutta immagine dal tuo OP e sostituirla con la corretta scrittura delle formule? Anzi guarda, facciamo così: te le scrivo io, così ti basta selezionarle col pulsante destro del mouse scegliere Show Math As > AsciiMath Input, copiare il contenuto della finestra che ti appare ed incollarlo nell'OP racchiuso fra due simboli di dollaro.
4. Data la funzione
$f(x) = frac{1}{x-3sqrt{x}+2} $
a) trovare la primitiva $F(x)$ di $f(x)$ tale che $F(0) = log(16)$;
b) calcolare $\int_{0}^{1/4} f(x) dx $;
c) calcolare l'integrale indefinito [tex]\int [f(x)/{F(x)}] dx[/tex]. (MAX 9 punti)
oK, fatto!
Bravo... 
Visto che non era poi così difficile?
Se poi per caso ti stai chiedendo come mai nella domanda c) l'integrale non viene scritto esattamente come quello che ti ho scritto io (uguale a quello dell'immagine che hai eliminato), è perché in realtà quell'integrale andava racchiuso tra tex e /tex (a loro volta racchiusi fra parentesi quadre) invece che fra due simboli di dollaro...
Visto che non era poi così difficile?
Se poi per caso ti stai chiedendo come mai nella domanda c) l'integrale non viene scritto esattamente come quello che ti ho scritto io (uguale a quello dell'immagine che hai eliminato), è perché in realtà quell'integrale andava racchiuso tra tex e /tex (a loro volta racchiusi fra parentesi quadre) invece che fra due simboli di dollaro...
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