Funzione integrabile secondo Riemann
Ciao a tutti 
mi trovo in difficoltà nel risolvere questo quesito:
Stabilire se la funzione $ f : [-1,1]->R $ così definita:
$ sin(x) + x - 1 $ nell'intervallo $ [-1 , 0) $
$sin(x) + x + 1 $ nell'intervallo $ [0,1] $
è integrabile nell'intervallo $ (-1 , 1) $
- Io posso immediatamente dire che la funzione nell'intervallo non è continua; tra l'altro l'intervallo considerato non è limitato, dunque in conclusione non posso utilizzare la continuità come criterio di integrabilità;
- Io so che una funzione è Riemann-integrabile se $ max s(f,D) = min S(f,D) $ ;
- Quest'ultimo criterio risulta però essere un pò scomodo da usare, dunque la mia domanda è : come si fa a dimostrare il quesito?
Il fatto che mi si chieda se è integrabile in un intervallo chiuso ma non limitato non crea problemi nella dimostrazione dell'integrabilità, dato che tutte le dimostrazioni su questo argomento necessitano di un intervallo chiuso e limitato??
Grazie per le risposte
mi trovo in difficoltà nel risolvere questo quesito:
Stabilire se la funzione $ f : [-1,1]->R $ così definita:
$ sin(x) + x - 1 $ nell'intervallo $ [-1 , 0) $
$sin(x) + x + 1 $ nell'intervallo $ [0,1] $
è integrabile nell'intervallo $ (-1 , 1) $
- Io posso immediatamente dire che la funzione nell'intervallo non è continua; tra l'altro l'intervallo considerato non è limitato, dunque in conclusione non posso utilizzare la continuità come criterio di integrabilità;
- Io so che una funzione è Riemann-integrabile se $ max s(f,D) = min S(f,D) $ ;
- Quest'ultimo criterio risulta però essere un pò scomodo da usare, dunque la mia domanda è : come si fa a dimostrare il quesito?
Il fatto che mi si chieda se è integrabile in un intervallo chiuso ma non limitato non crea problemi nella dimostrazione dell'integrabilità, dato che tutte le dimostrazioni su questo argomento necessitano di un intervallo chiuso e limitato??
Grazie per le risposte
Risposte
Come sarebbe che l'intervallo non è limitato? $[-1, 1]$
"dissonance":
Come sarebbe che l'intervallo non è limitato? $[-1, 1]$
"alevise1992":
[...] è integrabile nell'intervallo $(−1,1)$
[...] Il fatto che mi si chieda se è integrabile in un intervallo chiuso ma non limitato [...]
Pensa abbia invertito chiuso e limitato
Mi assocerei a questa domanda: credo ci siano tutte le ipotesi per usare Vitali-Lebesgue, ma sarebbe come usare un cannone per colpire una colomba...
Posso spezzare le due funzioni e, data l'integrabilità di ciascuna delle due (per continuità), dimostrare che somme inf e sup sono uguali anche della funzione data? Insomma, le somme inf sarebbero date dalla somma delle somme inf dell'una e dell'altra, e idem per le somme sup...
Ciao,
Frink
@Frink: Eh si, si puo' fare cosi'. Questo procedimento dimostra anche un baby teorema di Vitali: una funzione limitata e continua tranne al più in un numero *finito* di punti è integrabile secondo Riemann.
Grazie per le risposte ne approfitto per riformulare in maniera migliore il mio dubbio:
- Il testo che ho riportato sopra è corretto, ovvero prima mi dice che la funzione ha dominio $[-1 , 1] $, ma poi mi richiede di verificare l'integrabilità nell'intervallo $(-1,1)$ . Questa differenza mi manda un attimo in confusione perchè la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato, ma l'integrazione mi è richiesta in un intervallo chiuso MA non limitato. Come ci si comporta in questi casi??
-Chiarito questo, direi che la risoluzione che mi avete proposto può andare bene divido in due parti continue e ne dimostro l'integrabilità "unendo le parti"
ne approfitto per riformulare in maniera migliore il mio dubbio:- Il testo che ho riportato sopra è corretto, ovvero prima mi dice che la funzione ha dominio $[-1 , 1] $, ma poi mi richiede di verificare l'integrabilità nell'intervallo $(-1,1)$ . Questa differenza mi manda un attimo in confusione
perchè la funzione è definita in un intervallo chiuso e limitato, ma l'integrazione mi è richiesta in un intervallo chiuso MA non limitato. Come ci si comporta in questi casi??-Chiarito questo, direi che la risoluzione che mi avete proposto può andare bene
divido in due parti continue e ne dimostro l'integrabilità "unendo le parti"
Attenzione, confondi gli aggettivi "chiuso" e "limitato". Rivediti la definizione
Ok, ho capito mi scuso per l'incorrettezza chiuso $[-1,1]$, aperto $(-1,1)$, ma entrambi sono limitati... eventualmente per essere un insieme non limitato dovrebbe avere almeno un estremo infinito. Sono sottigliezze che però possono rivelarsi fatali 
Comunque riguardando la definizione, in effetti mi si richiede che l'intervallo sia limitato e chiuso, mentre la funzione dev'essere LIMITATA (anche non continua).
In conclusione, qui non dovrebbero dunque esserci problemi, in quanto l'insieme è chiuso e limitato, mentre la funzione è limitata (che sia aperta o chiusa non ce ne può fregar di meno insomma ).
E' corretto ciò che ho scritto?? Grazie per la pazienza
mi scuso per l'incorrettezza chiuso $[-1,1]$, aperto $(-1,1)$, ma entrambi sono limitati... eventualmente per essere un insieme non limitato dovrebbe avere almeno un estremo infinito. Sono sottigliezze che però possono rivelarsi fatali Comunque riguardando la definizione, in effetti mi si richiede che l'intervallo sia limitato e chiuso, mentre la funzione dev'essere LIMITATA (anche non continua).
In conclusione, qui non dovrebbero dunque esserci problemi, in quanto l'insieme è chiuso e limitato, mentre la funzione è limitata (che sia aperta o chiusa non ce ne può fregar di meno insomma
).E' corretto ciò che ho scritto?? Grazie per la pazienza
La funzione non può essere "aperta" o "chiusa". Solo i sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\) possono esserlo (e noi stiamo considerando solo dei particolari sottoinsiemi, gli intervalli).
Comunque, si, tutto questo dimostra che non ci sono problemi di fondo e che si può procedere col parlare di integrabilità della funzione data. Però adesso tocca dimostrarla, questa benedetta integrabilità
Comunque, si, tutto questo dimostra che non ci sono problemi di fondo e che si può procedere col parlare di integrabilità della funzione data. Però adesso tocca dimostrarla, questa benedetta integrabilità
A questo punto si può concludere che:
- la funzione rientra nella classe di funzioni Riemann-integrabili (funzione su intervallo limitato)
- la funzione non è continua nel suddetto intervallo, ma per essere integrabile non dev'esserlo necessariamente
- per utilizzare il comodo enunciato sulle funzioni continue ed integrabili, andiamo a considerare i due sottointervalli, ove la funzione risulta essere continua; ci troviamo così di fronte a due "sottofunzioni" integrabili
- Essendo Riemann-integrabili, $max s[f,D] = min S[f,D] $
-In conclusione, se riuniamo i due pezzi, troviamo che comunque l'equivalenza fra le somme rimane, partendo da due equazioni già equivalenti fra di loro, dunque si può concludere che la funzione è Riemann-integrabile
- la funzione rientra nella classe di funzioni Riemann-integrabili (funzione su intervallo limitato)
- la funzione non è continua nel suddetto intervallo, ma per essere integrabile non dev'esserlo necessariamente
- per utilizzare il comodo enunciato sulle funzioni continue ed integrabili, andiamo a considerare i due sottointervalli, ove la funzione risulta essere continua; ci troviamo così di fronte a due "sottofunzioni" integrabili
- Essendo Riemann-integrabili, $max s[f,D] = min S[f,D] $
-In conclusione, se riuniamo i due pezzi, troviamo che comunque l'equivalenza fra le somme rimane, partendo da due equazioni già equivalenti fra di loro, dunque si può concludere che la funzione è Riemann-integrabile
Non te ne puoi uscire cosi', devi lavorare un po'. Non hai fatto niente.
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