Funzione integrabile in senso improprio - VERO o FALSO

[peppe_sic]

se $f:[2, +\infty[$ è continua tale che

$0\leq f(x) \leq 2/x^5$
allora f è integrabile in senso improprio.
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dato che l'intervallo di definizione di $f$ è $[2, +\infty[$ è abbastanza ovvio che si tratta di un integrale improprio di
I° TIPO ovvere uno degli estremi di integrazione è $\infty$ .
La regola generale dice che:
- SE IL VALORE DEL LIMITE è FINITO SI DICE CHE LA FUNZIONE è INTEGRABILE IN SENSO IMPROPRIO NELL'INTERVALLO DATO E L'INTEGRALE IMPROPRIO è CONVERGENTE;

- SE IL VALORE DEL LIMITE è INFINITO SI DICE CHE LA FUNZIONE NON è INTEGRABILE IN SENSO IMPROPRIO NELL'INTERVALLO DATO E L'INTEGRALE IMPROPRIO è DIVERGENTE;

- SE IL VALORE DEL LIMITE NON ESISTE SI DICE CHE LA FUNZIONE NON è INTEGRABILE IN SENSO IMPROPRIO NELL'INTERVALLO DATO E L'INTEGRALE IMPROPRIO è INDETERMINATO

detto ciò non riesco ad arrivare ad una conclusione, perché devo anche considerare $0\leq f(x) \leq 2/x^5$

[poll89]

Ti sta dicendo esplicitamente di usare il cosiddetto criterio del confronto. In sintesi, data la monotonia dell'integrale (anche improprio), se una funzione è racchiusa tra altre due funzioni i cui integrali impropri in un punto ($+infty$ in questo caso) convergono, allora anche l'integrale di partenza converge.
Qui hai $h(x) = 0$ da una parte (e direi che non serve dire altro) e $g(x) = 5/x^5$, la cui convergenza è provata in parecchi appunti e dispense. Quindi fine

In realtà, raramente si calcola esplicitamente il limite se quel che occorre è solo la convergenza o meno dell'integrale. Il criterio del confronto è, penso, il più facile da usare, a patto di avere qualche funzione "campione" in mente, come appunto l'armonica.