Funzione integrabile in aperto e chiuso

[alessioben]

Ciao,
non trovo la dimostrazione del fatto che una funzione integrabile in un aperto limitato, e limitata sia sopra che sotto, è integrabile nel chiuso corrispondente.

Voi sapreste come fare?

[dissonance]

Che cos'è il "chiuso corrispondente"?

[Lebesgue]

Forse intendi dire che se $f$ limitata in $(a,b)$ è qui integrabile, allora è integrabile anche in $[a,b]$?

Nel caso, il motivo è che l'integrale "non vede" se aggiungi singoli punti.
Inoltre, essendo per ipotesi $f$ limitata in $(a,b)$, necessariamente $\lim_(x \to a^+) f(x)$ e $\lim_(x \to b^-) f(x)$ sono finiti (anche se non è detto esistano), dunque $f$ rimarrà limitata anche in $[a,b]$ e una funzione limitata su un limitato è integrabile

[Mephlip]

"Lebesgue":e una funzione limitata su un limitato è integrabile

La funzione di Dirichlet definita su un qualsiasi intervallo $[a,b]$ è limitata, $[a,b]$ è limitato ma non è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$.

[Lebesgue]

"Mephlip":
La funzione di Dirichlet definita su un qualsiasi intervallo $[a,b]$ è limitata, $[a,b]$ è limitato ma non è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$.

E' vero, hai perfettamente ragione. Quello che ho detto è vero se sostituiamo $f$ limitata con $f$ continua / monotona / con un numero finito di punti di discontinuità.

Tuttavia, dato che per ipotesi $f$ è limitata ed integrabile in $(a,b)$, sfruttando l'integrabilità si può concludere lo stesso che sia integrabile anche in $[a,b]$