Funzione integrabile

[5mrkv]

Sia \(f:\mathbb{R}^{n}\supset A\rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) con \(A\) misurabile secondo Lebesgue, una funzione integrabile. Mostrare che la restrizione a \(B\subset A\) con \(B\) misurabile è integrabile.

Mi sembra basti considerare il caso in cui \(f^{+}\) ha integrale finito e \(f^{-}\) ha integrale infinito. Siccome \(f^{+}\) ha integrale finito è misurabile. So che dati \(A_{0},A_{1},A\) misurabili tali che \(A=A_{0}\cup A_{1}\) la funzione \(f:A\rightarrow \overline{\mathbb{R}}\) è misurabile se e solo se lo sono le restrizioni sugli insiemi \(A_{0},A_{1}\). Pongo quindi \(A_{0}=A-B\) e \(A_{1}=B\) e la funzione \(f^{+}|B\) è integrabile secondo Lebesgue perché misurabile.

Non so se questo serva a qualcosa perché devo ancora mostrare che l'integrale è finito quindi potrebbe tornarmi inutile se scrivo tutto esplicitamente nei passaggi successivi. Ho pensato che per ogni scomposizione \(\sigma \in \Omega_{A}\) nel senso di Lebesgue posso trovare una scomposizione \(\sigma '\in \Omega_{A}\) tale che
\[
S(f^{+},\sigma)\geq S(f^{+},\sigma ')\geq s(f^{+},\sigma ')\geq s(f^{+},\sigma)
\]
e la scomposizione potrebbe essere questa: data \(\sigma=\{A_{i}\}_{i \in I}\) considero gli insiemi del tipo \(A_{i}-B\) e \(A_{i}\cap B\) (questo mi permette di ricollegarmi ad una scomposizione di \(B\) in quanto \(\{A_{i}\cap B\}_{i \in I}\in \Omega_{B}\)) e chiamo questi elementi con un generico \(C_{k}\). Nella somma superiore di \(f^{+}\) rispetto a tale \(\sigma '\) distinguo due casi:
\[
\begin{split}
\sup_{C_{k}}f ^{+}\mu (C_{k})&=\sup_{A_{i}-B}f^{+} \mu (A_{i}-B) \\
\sup_{C_{k}}f ^{+}\mu (C_{k})&=\sup_{A_{i}\cap B}f^{+} \mu (A_{i}\cap B)
\end{split}
\]
Vorrei quindi togliere tutti i termini del primo tipo dalla sommatoria superiore \(S(f^{+},\sigma ')\) per lasciare quelli del secondo ottenendo una sommatoria superiore per \(f^{+}|B\). Seguirei lo stesso procedimento con le sommatorie inferiori. Poi non so più come continuare. Devo anche mostrare che l'integrale \(f^{-}|B\) esiste finito o meno.

[Paolo902]

Aspetta un attimo, mi sono perso: per te che cosa vuol dire integrabile?

Suppongo che per te una funzione positiva è integrabile se ha integrale finito. Poi dici che una funzione qualsiasi $f=f^{+} - f^{-}$ è integrabile se $\int f^+ <\infty$ o $\int f^{-} <\infty$. Giusto? C'è una "o", non una "e", nella tua definizione, vero?

Se è così, allora per mostrare il claim non ti basta invocare la proprietà di monotonia dell'integrale rispetto al dominio di integrazione? Forse non l'hai ancora dimostrata e devi farlo senza ricorrere ad essa?

[5mrkv]

E' una osservazione del libro che segue dopo la definizione dell'integrazione secondo Lebesgue per una funzione positiva ed il teorema che dice che una funzione è integrabile se e solo se è misurabile quando l'integrale è finito. Per integrabilità di una funzione qualsiasi intendo dire che almeno una fra \(f^{+}\) ed \(f^{+}\) ha integrale finito. Penso di dovere mostrarla facendo uso della definizione di integrale di Lebesgue.

[5mrkv]

Bump.

[s.stuv]

Consideriamo uno spazio di misura \( (X, \Sigma, \mu) \), e due funzioni \( h \) e \( k \) nonnegative e misurabili. Supponiamo che per q.o. \( x \in X \) risulti \( h(x) \leq k(x) \) e mostriamo allora che
(1)
\[
\int_{X} h \, d\mu \leq \int_{X} k \, d\mu.
\]
A tale scopo, osserviamo semplicemente che stante la ipotesi \( h \leq k \) q.o., una qualsiasi funzione semplice e misurabile \( s \) soddisfacente \( 0 \leq s \leq h \) soddisfa invero anche la condizione \( 0 \leq s \leq k \). Pertanto, si ha che
\[
\{ \int_{X} s \, d\mu | s \mbox{ semplice e misurabile t.c. } 0 \leq s \leq h \} \subseteq \{ \int_{X} r \, d\mu | r \mbox{ semplice e misurabile t.c. } 0 \leq r \leq k \},
\]
sicché la (1) si ottiene al sup per definizione di integrale.
Ciò premesso, se \( f \) è una funzione integrabile su \( A \) misurabile secondo Lebesgue e \( B \subset A \) è misurabile, puoi applicare la (1) con \( X = \mathbb{R}^n \), \( h := |f| \chi_{B} \) e \( k := |f| \chi_{A} \), e ottieni
\[
\int_{B} |f| \, dx \leq \int_{A} |f| \, dx < \infty
\]
per ipotesi. Questo prova che \( f \) è integrabile su \( B \).
Saluti

[5mrkv]

Ok, grazie. Mi sembra più semplice mostrarlo con la notazione del Rudin. Ho ripassato l'argomento prima sul Lanconelli, se qualcuno lo conosce. Comunque guardando proposizione \(1.4\) \(b\) di Real and Complex Analysis lasciata per esercizio, basta notare una proprietà dell'estremo superiore e che
\[
\begin{split}
\mu(A_{i}\cap B)
&=\mu (A_{i}\cap(A\cup(B-A))) \\
&=\mu ((A_{i}\cap A)\cup(A_{i}\cap(B-A))) \\
&=\mu (A_{i}\cap A)+\mu (A_{i}\cap(B-A)) \\
&\geq \mu (A_{i}\cap A)
\end{split}
\]
Siccome la disuguaglianza vale per tutti i termini della sommatoria, segue il risultato.