Funzione iniettiva, suriettivita o biiettivita e invertibilità?
Salve a tutti,
Dal punto di vista pratico, se io ho una funzione $f(x)=(3(x^2)-2)/7$ e voglio verificare : iniettività, suriettività e biiettività quali sono i passaggi da operare ?
Per quanto riguarda l'invertibilità?
Non sto chiedendo uno svolgimento passo passo, ma le condizioni da porre e verificare. Per i calcoli ci penso io
Dal punto di vista pratico, se io ho una funzione $f(x)=(3(x^2)-2)/7$ e voglio verificare : iniettività, suriettività e biiettività quali sono i passaggi da operare ?
Per quanto riguarda l'invertibilità?
Non sto chiedendo uno svolgimento passo passo, ma le condizioni da porre e verificare. Per i calcoli ci penso io
Risposte
Allora per come hai posto il problema, non puoi affrontare il discorso della suriettività... per farlo avresti anche dovuto esplicitare l'insieme di arrivo e di partenza, perché principalmente da quelli dipende la suriettività.
Ad esempio prendiamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x)=x^2$ allora questa non è suriettiva perché l'immagine di $f$ è $\mathbb{R_0}^+$ che è un sottoinsieme del codominio che mi hanno dato se invece mi davano $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R_0}^+$ con $g(x)=x^2$ allora questa è suriettiva perché il codominio che mi hanno dato corrisponde con l'immagine, nonostante l'insieme di partenza (che per caso coincide col dominio) e la forma funzionale siano le stesse per i due esempi che ti ho fatto...
Quindi per la suriettività hai bisogno di sapere insieme di arrivo $B$ e di partenza $A$ , dopo di che devi in qualche modo riuscire a calcolare l'immagine dell'insieme di partenza, cioè $f(A)$ e vedere se è uguale a $B$ oppure no, se è uguale è suriettiva altrimenti no. Per calcolare l'immagine purtroppo mi dispiace deluderti, ma non c'è una "procedura standard" dipende dalla forma funzionale che hai in mano.
Un modo diciamo "standard" sarebbe quello di calcolare l'estremo superiore e inferiore, della funzione e se $f$ è continua e l'insieme di partenza è un intervallo allora l'immagine è l'intervallo che va dall'estremo inferiore a quello superiore. Meglio ancora sarebbe avere in mente i grafici delle funzioni elementari.
Per l'iniettività, anche qui hai bisogno di sapere insieme di arrivo e di partenza, e anche qui non c'è una procedura standard dipende dalla forma funzionale che hai in mano... la cosa più semplice è aver chiaro i grafici delle funzioni elementari e ragionare su quelli.
Se proprio vuoi una "procedura" il metodo più standard sarebbe quello di mostrare la monotonia, ad esempio calcolando la derivata della funzione, e risolvendo la disuguaglianza $f'(x)>0$ se questa disuguaglianza è sempre vera o sempre falsa allora la funzione è monotona e allora sei sicuro che la funzione è iniettiva, altrimenti se non è sempre vera o sempre falsa allora non è iniettiva; questo però lo puoi fare solo se hai funzioni continue e derivabili in tutto l'insieme di partenza, senza contare che l'insieme di partenza deve anche essere un intervallo...
Un altro modo è quello di disegnare il grafico della funzione, e quello è più che sufficiente per mostrare sia la suriettività che l'iniettività.
Dipende da quali strumenti hai in mano e dal calibro degli esercizi, una procedura standard per risolvere tutti i casi non esiste...
Se dimostri che una funzione è sia suriettiva che iniettiva, allora hai dimostrato sia che è biettiva sia che è invertibile, altrimenti se o non è iniettiva o non è suriettiva o non è entrambe allora non è nemmeno biettiva e nemmeno invertibile...
Per concludere, un esercizio come quello che hai messo, si risolve a occhio ricordando che quella funzione è una parabola e disegnando il grafico della parabola, senza tanti conti... dipende tutto dal calibro dell'esercizio...
Ad esempio prendiamo la funzione $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con $f(x)=x^2$ allora questa non è suriettiva perché l'immagine di $f$ è $\mathbb{R_0}^+$ che è un sottoinsieme del codominio che mi hanno dato se invece mi davano $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R_0}^+$ con $g(x)=x^2$ allora questa è suriettiva perché il codominio che mi hanno dato corrisponde con l'immagine, nonostante l'insieme di partenza (che per caso coincide col dominio) e la forma funzionale siano le stesse per i due esempi che ti ho fatto...
Quindi per la suriettività hai bisogno di sapere insieme di arrivo $B$ e di partenza $A$ , dopo di che devi in qualche modo riuscire a calcolare l'immagine dell'insieme di partenza, cioè $f(A)$ e vedere se è uguale a $B$ oppure no, se è uguale è suriettiva altrimenti no. Per calcolare l'immagine purtroppo mi dispiace deluderti, ma non c'è una "procedura standard" dipende dalla forma funzionale che hai in mano.
Un modo diciamo "standard" sarebbe quello di calcolare l'estremo superiore e inferiore, della funzione e se $f$ è continua e l'insieme di partenza è un intervallo allora l'immagine è l'intervallo che va dall'estremo inferiore a quello superiore. Meglio ancora sarebbe avere in mente i grafici delle funzioni elementari.
Per l'iniettività, anche qui hai bisogno di sapere insieme di arrivo e di partenza, e anche qui non c'è una procedura standard dipende dalla forma funzionale che hai in mano... la cosa più semplice è aver chiaro i grafici delle funzioni elementari e ragionare su quelli.
Se proprio vuoi una "procedura" il metodo più standard sarebbe quello di mostrare la monotonia, ad esempio calcolando la derivata della funzione, e risolvendo la disuguaglianza $f'(x)>0$ se questa disuguaglianza è sempre vera o sempre falsa allora la funzione è monotona e allora sei sicuro che la funzione è iniettiva, altrimenti se non è sempre vera o sempre falsa allora non è iniettiva; questo però lo puoi fare solo se hai funzioni continue e derivabili in tutto l'insieme di partenza, senza contare che l'insieme di partenza deve anche essere un intervallo...
Un altro modo è quello di disegnare il grafico della funzione, e quello è più che sufficiente per mostrare sia la suriettività che l'iniettività.
Dipende da quali strumenti hai in mano e dal calibro degli esercizi, una procedura standard per risolvere tutti i casi non esiste...
Se dimostri che una funzione è sia suriettiva che iniettiva, allora hai dimostrato sia che è biettiva sia che è invertibile, altrimenti se o non è iniettiva o non è suriettiva o non è entrambe allora non è nemmeno biettiva e nemmeno invertibile...
Per concludere, un esercizio come quello che hai messo, si risolve a occhio ricordando che quella funzione è una parabola e disegnando il grafico della parabola, senza tanti conti... dipende tutto dal calibro dell'esercizio...
Tutto chiaro, grazie.
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