Funzione iniettiva da A in A

[rasakkandar]

Ciao!

Sia A un insieme finito. Dimostrare che una funzione $f : A → A$ è iniettiva se e solo se è surgettiva.

Come al solito ho un'idea ma ho difficoltà a formalizzarla. Il mio ragionamento si fonda sul fatto che per come è definita la funzione, gli insiemi di partenza e di arrivo hanno lo stesso numero di elementi (coincidono ).
Di conseguenza, supponendo la funzione iniettiva, per collegare ogni x del dominio a y distinte devo per forza coprire tutte le y, altrimenti mi rimarrebbero delle x nel dominio a cui non associo niente. Viceversa, supponendo la funzione suriettiva, non posso avere la stessa y collegata a più x, altrimenti ancora una volta mi rimarrebbero delle x nel dominio a cui non associo niente.

E' corretto il ragionamento? Come lo traduco in matematichese?

[kobeilprofeta]

Sia $f:A to B$, con $card(A)=card(B)=n$
NB: il tuo è un caso particolare nel quale A=B

INIETTIVA=>SURGETTIVA
Prendo $b in B$. Per assurdo non abbia preimmagine.
Allora avrei $n$ elementi di A da mettere in relazione con $n-1$ elementi di B, ma... *continua tu*

SURGETTIVA=>INIETTIVA
Per assurdo non sia iniettiva. Quindi esiste $b_0 in B$ t.c. esistano $a_1,a_2 in A$ con $f(a_1)=f(a_2)=b_0$.
Allora avrei $n-2$ elementi di A da mettere in relazione con $n-1$ elementi di B, ma... *continua tu*

[rasakkandar]

...ma in tal caso la funzione non potrebbe essere inettiva, il che contraddice l'ipotesi.
...ma in tal caso la funzione non potrebbe essere suriettiva, il che contraddice l'ipotesi.

Ti ringrazio per la risposta e per avermi lasciato così poco lavoro

[kobeilprofeta]

prego