Funzione infinita
Salve a tutti!La mia prof.ssa a lezione dopo aver enunciato il criterio di sommabilità dell'infinito ha fatto un esempio con questa funzione :
$f(x)=1/((x-1)log(1-x))$ con $x$ definita nell'intervallo $[1/2,1[$.
Essa è infinita per $x->1^(-)$ di ordine minore di $1$ ma di ordine maggiore di $1-epsilon$ qualunque sia $epsilon>0$.
Facilmente si vede che:
$lim_(x->1^(-) ) =1/((x-1)log(1-x))= -infty$
la funzione $f(x)$ è infinita per $x->1^(-)$.La cosa che non riesco a capire è quale funzione $g(x)$ ha scelto come infinito campione per stabilire l'ordine di infinito della $f(x)$.
$f(x)=1/((x-1)log(1-x))$ con $x$ definita nell'intervallo $[1/2,1[$.
Essa è infinita per $x->1^(-)$ di ordine minore di $1$ ma di ordine maggiore di $1-epsilon$ qualunque sia $epsilon>0$.
Facilmente si vede che:
$lim_(x->1^(-) ) =1/((x-1)log(1-x))= -infty$
la funzione $f(x)$ è infinita per $x->1^(-)$.La cosa che non riesco a capire è quale funzione $g(x)$ ha scelto come infinito campione per stabilire l'ordine di infinito della $f(x)$.
Risposte
Certamente è un infinito
di ordine superiore ad $-1/(1-x)$ ed inferiore a$-(1/(1-x))^2$. Se ho
capito la tua domanda, la funzione $g(x)$ sarebbe proprio$-(1/(1-x))$.
di ordine superiore ad $-1/(1-x)$ ed inferiore a$-(1/(1-x))^2$. Se ho
capito la tua domanda, la funzione $g(x)$ sarebbe proprio$-(1/(1-x))$.
se non sbaglio l'infinito campione di ordine $ beta $ è $ lim_(x -> x0) 1 / |x-x0|^beta =+oo $
Comunque questa funzione credo sia un esempio nel quale il criterio di sommabilità a cui fai riferimento non è applicabile.
Comunque questa funzione credo sia un esempio nel quale il criterio di sommabilità a cui fai riferimento non è applicabile.
"orazioster":
Certamente è un infinito
di ordine superiore ad $-1/(1-x)$ ed inferiore a$-(1/(1-x))^2$. Se ho
capito la tua domanda, la funzione $g(x)$ sarebbe proprio$-(1/(1-x))$.
Ti ringrazio per la risposta!Cmq si esatto volevo sapere questo!Ma in generale la funzione $g(x)$ viene scelta in base alla funzione $f(x)$ ? Se è così allora bisogna considerare diverse classi di funzioni?
In generale data la tua $ f(x) $ o confronti direttamente con $ 1 / |x-x0|^beta $ in modo da trovare il valore $beta$ per cui il limite del loro rapporto sia una costante ( in tal caso allora sono infiniti dello stesso ordine e quindi $beta$ è l'ordine di infinito della tua funzione), oppure quando la funzione è più complicata cerchi di maggiorare con un'altra $ g(x) $ che andrai poi sempre a confrontare con l'infinito campione che ti ho detto prima.
Questo per quanto riguarda funzioni continue in un insieme LIMITATO e MISURABILE.
Questo per quanto riguarda funzioni continue in un insieme LIMITATO e MISURABILE.
"Zilpha":
In generale data la tua $ f(x) $ o confronti direttamente con $ 1 / |x-x0|^beta $ in modo da trovare il valore $beta$ per cui il limite del loro rapporto sia una costante ( in tal caso allora sono infiniti dello stesso ordine e quindi $beta$ è l'ordine di infinito della tua funzione), oppure quando la funzione è più complicata cerchi di maggiorare con un'altra $ g(x) $ che andrai poi sempre a confrontare con l'infinito campione che ti ho detto prima.
Questo per quanto riguarda funzioni continue in un insieme LIMITATO e MISURABILE.
Se ho capito bene allora nel caso della mia funzione $f(x)=1/((x-1)log(1-x))$ posso effettuare direttamente il confronto con $1/(b-x)^\alpha$ (definita in questo modo sul mio libro di testo) e quindi dire che:
$lim_(x->1^(-)) (b-x)^(\alpha)/((x-1)log(1-x))=l $
cioè la $f(x)$ è infinita di ordine $\alpha$ dove $\alpha<1$ perchè la $g(x)$ converge per $\alpha<1$.
Esattamente! ( se con $ g(x) $ stai indicando $ (b-x)^a /((x-1)log(1-x)) $ )
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