Funzione in L1(R) ma non in L2(R)
Salve, devo trovare un esempio di funzione continua e positiva su \(\displaystyle \mathbb{R} \),
che stia in $ L^1(\mathbb{R}) $ ma non in $ L^2(\mathbb{R}) $.
Quindi devo trovare una funzione $f$ il cui integrale esteso a \(\displaystyle \mathbb{R} \) sia finito mentre l'integrale di $f^2$ sia infinito.
Devo vedere come si comporta la funzione a $+-oo$:
Se $ lim_(x ->+- oo) f=oo $ allora $f$ non è in $ L^1(\mathbb{R}) $ e nemmeno $f^2$.
Se il limite $EE$ finito, si può dimostrare che questo, affinché $f$ sia continua in $ L^1(\mathbb{R}) $, deve essere $0$, ma in tal caso sarebbe $0$ anche il limite di $f^2$ e quindi anch'essa sarebbe in $ L^1(\mathbb{R}) $.
Dunque, ammesso che il ragionamento fin qui fatto sia corretto, devo trovare una funzione il cui limite a $+-$$oo$ non esista ed il cui integrale su $ mathbb(R) $ sia finito mentre quello del suo quadrato sia $oo$.
Non so però con quale criterio cercarla.
Grazie
che stia in $ L^1(\mathbb{R}) $ ma non in $ L^2(\mathbb{R}) $.
Quindi devo trovare una funzione $f$ il cui integrale esteso a \(\displaystyle \mathbb{R} \) sia finito mentre l'integrale di $f^2$ sia infinito.
Devo vedere come si comporta la funzione a $+-oo$:
Se $ lim_(x ->+- oo) f=oo $ allora $f$ non è in $ L^1(\mathbb{R}) $ e nemmeno $f^2$.
Se il limite $EE$ finito, si può dimostrare che questo, affinché $f$ sia continua in $ L^1(\mathbb{R}) $, deve essere $0$, ma in tal caso sarebbe $0$ anche il limite di $f^2$ e quindi anch'essa sarebbe in $ L^1(\mathbb{R}) $.
Dunque, ammesso che il ragionamento fin qui fatto sia corretto, devo trovare una funzione il cui limite a $+-$$oo$ non esista ed il cui integrale su $ mathbb(R) $ sia finito mentre quello del suo quadrato sia $oo$.
Non so però con quale criterio cercarla.
Grazie
Risposte
Ho fatto un po' di tentativi euristici: prova con \(f(x)=1/(|x|(1+\log^2 |x|))\).
Si su $(0,oo)$ va bene ma su $ mathbb(R) $ no perché è discontina in 0 e non si può fare nemmeno un prolungamento continuo dato che a $0$ il limite è $oo$.
Se il comportamento "brutto" deve stare al finito, non ci sono problemi.
Ad esempio, prendi:
\[
f(x) := \begin{cases} \frac{1}{|x| \ln^2 |x|} &\text{, se } -1/2\leq x<0 \text{ oppure } 0
tale \(f\) è chiaramente in \(L^1(\mathbb{R})\), però si guarda bene dall'essere in \(L^2(\mathbb{R})\) (ed in \(L^p(\mathbb{R})\) per \(p>1\), se non mi inganno).
Se, invece, cerchi una funzione continua, devi fare le cose con più calma.
Infatti, la continuità ti porta ad accumulare i punti "brutti" all'infinito, cioé fuori da ogni compatto \([-K,K]\); chiaramente, non puoi prendere una funzione che è infinitesima in \(\pm \infty\), perché mettendo un \(2\) all'esponente prenderesti una funzione ancora sommabile, e d'altra parte non puoi prendere una funzione regolare che abbia limite \(\neq 0\) in \(\pm \infty\); quindi devi prendere una funzione positiva (il che non lede la generalità) che non è regolare in \(\pm \infty\) ma ha:
\[
0=\liminf_{x\to \pm \infty} f(x) < \limsup_{x\to \pm \infty} f(x) =l.
\]
Ragioniamo in \([0,\infty[\).
Prendiamo due successioni positive \((a_n)\) e \((b_n)\) in modo che \(a_n\to l\) (con \(l\) fissato ad arbitrio in \(]0,\infty[\)) crescendo e \(b_n\to 0\) abbastanza velocemente.
Costruiamo \(f\) in modo che il suo grafico consista di infinit triangolini, tutti disgiunti, di base \(b_n\) ed altezza \(a_n\) in modo che tali triangoli "fuggano" verso \(\infty\).
Chiaramente:
\[
\int_0^\infty f(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty a_n\ b_n
\]
mentre (qui devi farti un po' di conti espliciti noiosi):
\[
\int_0^\infty f^2(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty a_n^2\ b_n\; .
\]
Chiaramente, se \((a_n)\) è limitata dall'alto, il carattere delle due serie ai secondi membri è lo stesso, quindi dobbiamo prendere \(l=\infty\) per ottenere comportamenti differenti; in particolare possiamo prendere:
\[
a_n=2^n \quad \text{e}\quad b_n= 3^{-n}
\]
di modo che:
\[
\int_0^\infty f(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{2}{3}\right)^n <\infty
\]
e:
\[
\int_0^\infty f^2(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{3}\right)^n =\infty\; ,
\]
quindi la \(f\) costruita come detto sopra usando le due successioni scelte è \(L^1(0,\infty)\) ma non in \(L^2(0,\infty)\).
Ad esempio, prendi:
\[
f(x) := \begin{cases} \frac{1}{|x| \ln^2 |x|} &\text{, se } -1/2\leq x<0 \text{ oppure } 0
tale \(f\) è chiaramente in \(L^1(\mathbb{R})\), però si guarda bene dall'essere in \(L^2(\mathbb{R})\) (ed in \(L^p(\mathbb{R})\) per \(p>1\), se non mi inganno).
Se, invece, cerchi una funzione continua, devi fare le cose con più calma.
Infatti, la continuità ti porta ad accumulare i punti "brutti" all'infinito, cioé fuori da ogni compatto \([-K,K]\); chiaramente, non puoi prendere una funzione che è infinitesima in \(\pm \infty\), perché mettendo un \(2\) all'esponente prenderesti una funzione ancora sommabile, e d'altra parte non puoi prendere una funzione regolare che abbia limite \(\neq 0\) in \(\pm \infty\); quindi devi prendere una funzione positiva (il che non lede la generalità) che non è regolare in \(\pm \infty\) ma ha:
\[
0=\liminf_{x\to \pm \infty} f(x) < \limsup_{x\to \pm \infty} f(x) =l.
\]
Ragioniamo in \([0,\infty[\).
Prendiamo due successioni positive \((a_n)\) e \((b_n)\) in modo che \(a_n\to l\) (con \(l\) fissato ad arbitrio in \(]0,\infty[\)) crescendo e \(b_n\to 0\) abbastanza velocemente.
Costruiamo \(f\) in modo che il suo grafico consista di infinit triangolini, tutti disgiunti, di base \(b_n\) ed altezza \(a_n\) in modo che tali triangoli "fuggano" verso \(\infty\).
Chiaramente:
\[
\int_0^\infty f(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty a_n\ b_n
\]
mentre (qui devi farti un po' di conti espliciti noiosi):
\[
\int_0^\infty f^2(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty a_n^2\ b_n\; .
\]
Chiaramente, se \((a_n)\) è limitata dall'alto, il carattere delle due serie ai secondi membri è lo stesso, quindi dobbiamo prendere \(l=\infty\) per ottenere comportamenti differenti; in particolare possiamo prendere:
\[
a_n=2^n \quad \text{e}\quad b_n= 3^{-n}
\]
di modo che:
\[
\int_0^\infty f(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{2}{3}\right)^n <\infty
\]
e:
\[
\int_0^\infty f^2(x)\ \text{d} x \propto \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{4}{3}\right)^n =\infty\; ,
\]
quindi la \(f\) costruita come detto sopra usando le due successioni scelte è \(L^1(0,\infty)\) ma non in \(L^2(0,\infty)\).
Bella soluzione, grazie mille!
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