Funzione in due variabili : max e min assoluti
raga... ho bisogno d'aiuto:
ho questa funzione:
$F(x,y): x^2+4y^2$
e di questa funzione devo calcolare max e min assoluti nel triangolo di vertici
A (-2 , 0 )
B ( 1 , 1/2 )
C ( 1 , -1/2 ).
Io ho provato a svolgere l'esercizio e ho trovato :
max assoluto : valore 4 nel punto ( -2 , 0 )
min assoluto : valore $-8/25$ nel punto $(-1/5 , 3/10)$
Secondo voi sono corretti i risultati?
ho questa funzione:
$F(x,y): x^2+4y^2$
e di questa funzione devo calcolare max e min assoluti nel triangolo di vertici
A (-2 , 0 )
B ( 1 , 1/2 )
C ( 1 , -1/2 ).
Io ho provato a svolgere l'esercizio e ho trovato :
max assoluto : valore 4 nel punto ( -2 , 0 )
min assoluto : valore $-8/25$ nel punto $(-1/5 , 3/10)$
Secondo voi sono corretti i risultati?
Risposte
allora....innanzitutto osservi che $F >= 0 , AA (x,y) in RR^2$ e che F=0 quando (x,y)=(0,0), questo è il minimo della funzione. Per quanto riguarda il bordo anche a me sono venuti 3 punti stazionari vincolati, il tuo, quello simmetrico rispetto all'asse x $( - 1/5 , -3/10 )$ e anche $( 1, 0)$. Ma siccome le immagini sono più piccole di 4 e 3, cioè le immagini dei vertici, non contano. In conclusione direi che il max è (-2,0), il min è (0,0) e il range della funzione è [0, 4].
intanto grazie per la risposta...
i punti stazionari che hai trovato sono uguali ai miei...
il mio dubbio è questo...
il valore 0 nel punto $(0,0)$ lo trovo con l'hessiano ( poichè $(0,0)$ è il punto in cui si annullano le derivate parziali prime ) il che mi dice che quel punto è punto di minimo relativo...
Quindi se non ho capito male la spiegazione del prof... il min relativo lo trovo in $(0,0)$ e vale zero. Mentre in minimo assoluto lo trovo in $(-1/5,3/10)$ e vale $-8/25$...
il massimo assoluto invece lo trovo nel punto $(-2,0)$ e vale 4...
scusate se non riesco a capire bene sta cosa dei massimi e minimi...
i punti stazionari che hai trovato sono uguali ai miei...
il mio dubbio è questo...
il valore 0 nel punto $(0,0)$ lo trovo con l'hessiano ( poichè $(0,0)$ è il punto in cui si annullano le derivate parziali prime ) il che mi dice che quel punto è punto di minimo relativo...
Quindi se non ho capito male la spiegazione del prof... il min relativo lo trovo in $(0,0)$ e vale zero. Mentre in minimo assoluto lo trovo in $(-1/5,3/10)$ e vale $-8/25$...
il massimo assoluto invece lo trovo nel punto $(-2,0)$ e vale 4...
scusate se non riesco a capire bene sta cosa dei massimi e minimi...
Il tuo minimo assoluto non può essere -8/25 perchè la funzione è sempre positiva in quanto somma di quadrati! Per i punti $(-1/5, +- 3/10)$ , che sono gli i punti critici vincolati, la funzione vale
$f(-1/5, +- 3/10) = (-1/5)^2 + 4 (+- 3/10)^2 = 1 / 25 + 4 9/100 = 10 /25 = 2/5$
Ma siccome per i vertici hai che
$f(-2, 0) = 4$
$f(1, +- 1/2) = 1 + 4 (+- 1/2)^2 = 2$
cioè
$min f = f(0,0) < f(-1/5, +- 3/10) < f(1, +- 1/2) < f(-2, 0) = max f$
i punti critici vincolati non ti servono a nulla.
$f(-1/5, +- 3/10) = (-1/5)^2 + 4 (+- 3/10)^2 = 1 / 25 + 4 9/100 = 10 /25 = 2/5$
Ma siccome per i vertici hai che
$f(-2, 0) = 4$
$f(1, +- 1/2) = 1 + 4 (+- 1/2)^2 = 2$
cioè
$min f = f(0,0) < f(-1/5, +- 3/10) < f(1, +- 1/2) < f(-2, 0) = max f$
i punti critici vincolati non ti servono a nulla.
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