Funzione in due variabili max e min assoluti
Ciao a tutti .. Potete aiutarmi con questa funzione?
Devo trovare i massimi e minimi assoluti
La funzione è :
$ f(x,y) arctg(2x^2+3xy+5y^2) $
nell insieme $ D = {(x,y)in R^2:1<=xy<=2, x<= y<= 2x,y>= 0} $
Allora il dominio è tutto R^2
faccio questa posizione( ** come vuole la mia prof )
$ t(x,y) = 2x^2+3xy+5y^2 $
$ phi(t)= arctg(t) $
faccio la derivata di $ phi(t) $ ottengo $ phi't(x,y) = 1/(1+t^2) $ mi accorgo che la funzione è crescente quindi ammette max e min.
Adesso devo trovare i punti critici calcolo le derivate
$ (delta t)/(delta x) = 2x+3y $
$ (deltat)/(deltay) = 3x+10y $
Ne faccio il sistema
ottengo il punto P (0.0)
Calcolo le derivate seconde per fare poi l hessiano...
$ fx x = 2 $ ; $ fy y = 10 $ ; $ fxy=fyx=3 $
l'hessiano vale 11 quindi è > 0
il punto P(0.0) allora è di min relativo...
Adesso come faccio a studiare quelli assoluti?
Devo trovare i massimi e minimi assoluti
La funzione è :
$ f(x,y) arctg(2x^2+3xy+5y^2) $
nell insieme $ D = {(x,y)in R^2:1<=xy<=2, x<= y<= 2x,y>= 0} $
Allora il dominio è tutto R^2
faccio questa posizione( ** come vuole la mia prof )
$ t(x,y) = 2x^2+3xy+5y^2 $
$ phi(t)= arctg(t) $
faccio la derivata di $ phi(t) $ ottengo $ phi't(x,y) = 1/(1+t^2) $ mi accorgo che la funzione è crescente quindi ammette max e min.
Adesso devo trovare i punti critici calcolo le derivate
$ (delta t)/(delta x) = 2x+3y $
$ (deltat)/(deltay) = 3x+10y $
Ne faccio il sistema
ottengo il punto P (0.0)
Calcolo le derivate seconde per fare poi l hessiano...
$ fx x = 2 $ ; $ fy y = 10 $ ; $ fxy=fyx=3 $
l'hessiano vale 11 quindi è > 0
il punto P(0.0) allora è di min relativo...
Adesso come faccio a studiare quelli assoluti?
Risposte
scusami anche tu...ma devi calcolare i punti di massimo e minimo assoluto?? o quelli relativi?? o entrambi?? perchè altrimenti non ha senso andare a farsi l'hessiano.
questa mi è nuova, io sapevo che si utilizzava il criterio sufficiente di esistenza di Weirstrass:
(i)f(x,y) continua in D
(ii) D compatto (chiuso + limitato)
allora puoi dire che esistono max e min.
Per il resto mi sembra che i calcoli siano giusti, anche se tu hai risolto il problema come se dovessi cercare i punti di max/min relativo e non quelli assoluti.
faccio la derivata di φ(t) ottengo φ't(x,y)=11+t2 mi accorgo che la funzione è crescente quindi ammette max e min.
questa mi è nuova, io sapevo che si utilizzava il criterio sufficiente di esistenza di Weirstrass:
(i)f(x,y) continua in D
(ii) D compatto (chiuso + limitato)
allora puoi dire che esistono max e min.
Per il resto mi sembra che i calcoli siano giusti, anche se tu hai risolto il problema come se dovessi cercare i punti di max/min relativo e non quelli assoluti.
si scusami dovevo cercare sia i max e min relativi e sia quelli assoluti xD
avevo dimenticato di scriverlo sopra...
Io non so solo come calcolare quelli assoluti per il resto va bene
avevo dimenticato di scriverlo sopra...
Io non so solo come calcolare quelli assoluti per il resto va bene
ti sei disegnato il dominio??? e ti sei calcolato le possibili intersezioni?? Allora osserverai che FD (bordo/frontiera) è un insieme di 3 curve regolari a tratti che devi parametrizzarti. Quindi per ogni tratto regolare sostituisci l'equivalente parametrizzazione all'interno della f(x,y) e il tutto si ridurrà a un probelma di max e min in una variabile...ti ritrovi un pò in ciò che ho scritto?? potresti provare anche con il metodo delle linee di livello, ma in questo caso la f(x,y) non è semplicissima per cui telo sconsiglio.
io avevo pensato di parametrizzare il dominio dividendolo in due parti
[jxg]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[/jxg]
mm no perche 2? il dominio è una sorta di triangolo che ha come base il tratto di curva $y=1/x$ ti risulta?...ovviamente devi considerare solo il triangolo nel primo quadrante dato che hai il vincolo $y>=0$
mm no perche 2? il dominio è una sorta di triangolo che ha come base il tratto di curva $y=1/x$ ti risulta?...ovviamente devi considerare solo il triangolo nel primo quadrante dato che hai il vincolo $y>=0$
si ma le iperboli non sono 2???
io avevo parametrizzato così
$ 1<= x<= sqrt2, x<= y<= 2/x $
e l altro dominio
$ 1/sqrt2<= x<= 1,1/x<= y<= 2x $
$ 1<= x<= sqrt2, x<= y<= 2/x $
e l altro dominio
$ 1/sqrt2<= x<= 1,1/x<= y<= 2x $
si sono 2 però ti devi limitare al primo quadrante in quanto vedo $y>=0 $ è uno dei vincoli che hai scritto tu come testo dell'esercizio....cmq le paramettrizzazioni che risultano a me sono le seguenti:
$ gamma^1{ ( y=x ),( x in [0,1] ):} $ $ gamma^2{ ( y=1/x ),( x in [root()(2)/2,1] ):} $ $ gamma^3{ ( y=2x),( x in [0,root()(2)/2] ):} $
$ gamma^1{ ( y=x ),( x in [0,1] ):} $ $ gamma^2{ ( y=1/x ),( x in [root()(2)/2,1] ):} $ $ gamma^3{ ( y=2x),( x in [0,root()(2)/2] ):} $
ah sisi ho capito e adesso cosa dovrei fare ? perchè è questo il punto in cui io mi blocco
devi sostituire, in altri termini dovrai studiare i max e minimi delle seguenti funzioni:
$f(x,x)$
$f(x,1/x)$
$f(x,2x)$
sono 3 funzioni distine in una variabile, ovviamente una volta che trovi i punti devi verificare che cadano all'interno dell'intervallo di interesse, ora dovrebbe essere più chiaro.
$f(x,x)$
$f(x,1/x)$
$f(x,2x)$
sono 3 funzioni distine in una variabile, ovviamente una volta che trovi i punti devi verificare che cadano all'interno dell'intervallo di interesse, ora dovrebbe essere più chiaro.
sisi grazie mille
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