Funzione in due variabili
devo studiare questa funzione, ma non riesco ad arrivare in fondo all'esercizio. qualcuno mi sa aiutare?
$f :RR^2 -> RR$ definita cosi: \( f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2 +y^2} se (x,y) != (0,0)\) e \(f(0,0)=0 \).
innanzitutto vedo che $f$ non è continua perchè ad esempio:
\[f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^2+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \rightarrow_{x \rightarrow 0} 1 != 0 \]
quindi non è differenziabile su tutto $RR^2$, però potrebbe esserlo sull'aperto $U =RR^2 \ {(0,0)}$.
Quindi $f$ è diff. su $U$ se esiste T applicazione lin. continua da $RR^2$ a $RR$ tale che \( f(x+h,y+k) =f(x,y) + T (h,k) + o(h,k)\) $=>$ \[ \frac{(x+h)^2(y+k)}{(x+h)^2+(y+k)^2} = \frac{x^2y}{x^2+y^2} + T (h,k) +\sqrt (h^2 + k^2) \]
e qua non so più quale sia il modo migliore per proseguire.
$f :RR^2 -> RR$ definita cosi: \( f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2 +y^2} se (x,y) != (0,0)\) e \(f(0,0)=0 \).
innanzitutto vedo che $f$ non è continua perchè ad esempio:
\[f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^2+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \rightarrow_{x \rightarrow 0} 1 != 0 \]
quindi non è differenziabile su tutto $RR^2$, però potrebbe esserlo sull'aperto $U =RR^2 \ {(0,0)}$.
Quindi $f$ è diff. su $U$ se esiste T applicazione lin. continua da $RR^2$ a $RR$ tale che \( f(x+h,y+k) =f(x,y) + T (h,k) + o(h,k)\) $=>$ \[ \frac{(x+h)^2(y+k)}{(x+h)^2+(y+k)^2} = \frac{x^2y}{x^2+y^2} + T (h,k) +\sqrt (h^2 + k^2) \]
e qua non so più quale sia il modo migliore per proseguire.
Risposte
"ettanic":
innanzitutto vedo che $f$ non è continua perchè ad esempio:
\[f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^2+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \rightarrow_{x \rightarrow 0} 1 != 0 \]
Non è vero, il limite che hai calcolato fa $0$. Inoltre la funzione viene proprio continua.
In $RR^2 -{(0,0)}$ puoi dire che è sempre differenziabile, perchè è una funzione razionale (a meno che non sia richiesto di mostrarlo esplicitamente). Ti può limitare quindi ad applicare la definizione sul punto $(0,0)$.
"robbstark":
[quote="ettanic"]innanzitutto vedo che $f$ non è continua perchè ad esempio:
\[f(x,x^2) =\frac{x^4}{x^2+x^4} = \frac{1}{\frac{1}{x^2} +1} \rightarrow_{x \rightarrow 0} 1 != 0 \]
Non è vero, il limite che hai calcolato fa $0$. Inoltre la funzione viene proprio continua.
[/quote]
giusto, che errore che ho fatto!
però allora non basta far vedere quel limite per dimostrare che la funzione è continua.. come devo fare?"robbstark":
In $RR^2 -{(0,0)}$ puoi dire che è sempre differenziabile, perchè è una funzione razionale (a meno che non sia richiesto di mostrarlo esplicitamente). Ti può limitare quindi ad applicare la definizione sul punto $(0,0)$.
L'enunciato dice: " mostrare che è differenziabile sull'aperto $RR^2 -{(0,0)}$", quindi non credi basti dare questa spiegazione, ma dimostrarlo..
Per dimostrare che è continua devi dimostrare che quel limite viene $0$, quindi devi mostrare che $AA epsilon > 0$ esiste un'intorno dell'origine tale che
$|(x^2 y)/(x^2 +y^2)| < epsilon$
A questo punto osserva che:
$|(x^2 y)/(x^2 +y^2)| =(x^2)/(x^2 +y^2) |y| <= |y|$
Ma $|y| < epsilon$ è una striscia che è intorno dell'origine.
Quanto alla differenziabilità, non ho il tempo di vedere come potersi arrangiare dalla definizione, però ad esempio se mostri che almeno una derivata parziale è continua, allora puoi dire che la funzione è differenziabile, per un teorema.
$|(x^2 y)/(x^2 +y^2)| < epsilon$
A questo punto osserva che:
$|(x^2 y)/(x^2 +y^2)| =(x^2)/(x^2 +y^2) |y| <= |y|$
Ma $|y| < epsilon$ è una striscia che è intorno dell'origine.
Quanto alla differenziabilità, non ho il tempo di vedere come potersi arrangiare dalla definizione, però ad esempio se mostri che almeno una derivata parziale è continua, allora puoi dire che la funzione è differenziabile, per un teorema.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo