Funzione in C^3 con minimo.
Sia \( f \in C^3 \) e \( f \) possiede un minimo in \( x_0 \) e \(f''(x_0)=0\) allora \( f'''(x_0) = 0 \)
La mia idea di dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che \( f'''(x_0) \neq 0 \) e supponiamo che \( f'''(x_0) > 0 \).
Siccome \( x_0 \) è un minimo di \(f \) allora esiste un intorno \(U_{x_0}= (x_0 - \epsilon , x_0 + \epsilon ) \) con \( \epsilon >0 \)
tale che \( \forall \tilde{x} \in U_{x_0} \) abbiamo che \( f(x_0) \leq f(\tilde{x} ) \).
Consideriamo inoltre lo sviluppo di Taylor di \(f(x) \) in suddetto intorno \(U_{x_0} \) al terzo ordine, che è dato da:
\( T_3(f,x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2 + \frac{1}{3!} f'''(x_0) (x-x_0)^3 \)
Abbiamo per ipotesi che \( f''(x_0) = 0 \) e che \(x_0 \) è un minimo e dunque necessariamente \( f'(x_0) = 0 \)
Pertanto con \( x \in U_{x_0} \) abbiamo:
\( f(x) = f(x_0) + \frac{1}{3!} f'''(x_0) (x-x_0)^3 + \operatorname o(\begin{vmatrix}
x-x_0
\end{vmatrix}^3) \)
Fissiamo un \( \delta >0 \) tale che \( \tilde{x} = x_0 + \delta \in U_{x_0} \) e tale che \( \bar{x} = x_0 - \delta \in U_{x_0}\)
Per ipotesi abbiamo che \(f(x_0 ) \leq f(\tilde{x} ) \) e \(f(x_0 ) \leq f(\bar{x} ) \)
Ma abbiamo che \( f(x_0 - \delta ) = f(x_0) - \frac{1}{3!} f'''(x_0) \delta^3 + \operatorname o(\delta^3) < f(x_0) \)
Che è assurdo.
In modo analogo abbiamo che se \( f'''(x_0) < 0 \)
\( f(x_0 + \delta ) = f(x_0) + \frac{1}{3!} f'''(x_0) \delta^3 + \operatorname o(\delta^3) < f(x_0) \)
Che è assurdo!
Dunque \( f'''(x_0) = 0 \)
La mia domanda è: il termine \( \operatorname o(\delta^3) \) posso considerarlo ininfluente sulla somma tra \(f(x_0) \pm \frac{1}{3!} f'''(x_0) \delta^3 \) che mi permette di concludere con la contraddizione che \( f(x_0 \pm \delta ) < f(x_0) \) a dipendenza dei casi ? Se si perché è ininfluente? Grazie.
La mia idea di dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che \( f'''(x_0) \neq 0 \) e supponiamo che \( f'''(x_0) > 0 \).
Siccome \( x_0 \) è un minimo di \(f \) allora esiste un intorno \(U_{x_0}= (x_0 - \epsilon , x_0 + \epsilon ) \) con \( \epsilon >0 \)
tale che \( \forall \tilde{x} \in U_{x_0} \) abbiamo che \( f(x_0) \leq f(\tilde{x} ) \).
Consideriamo inoltre lo sviluppo di Taylor di \(f(x) \) in suddetto intorno \(U_{x_0} \) al terzo ordine, che è dato da:
\( T_3(f,x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x-x_0)^2 + \frac{1}{3!} f'''(x_0) (x-x_0)^3 \)
Abbiamo per ipotesi che \( f''(x_0) = 0 \) e che \(x_0 \) è un minimo e dunque necessariamente \( f'(x_0) = 0 \)
Pertanto con \( x \in U_{x_0} \) abbiamo:
\( f(x) = f(x_0) + \frac{1}{3!} f'''(x_0) (x-x_0)^3 + \operatorname o(\begin{vmatrix}
x-x_0
\end{vmatrix}^3) \)
Fissiamo un \( \delta >0 \) tale che \( \tilde{x} = x_0 + \delta \in U_{x_0} \) e tale che \( \bar{x} = x_0 - \delta \in U_{x_0}\)
Per ipotesi abbiamo che \(f(x_0 ) \leq f(\tilde{x} ) \) e \(f(x_0 ) \leq f(\bar{x} ) \)
Ma abbiamo che \( f(x_0 - \delta ) = f(x_0) - \frac{1}{3!} f'''(x_0) \delta^3 + \operatorname o(\delta^3) < f(x_0) \)
Che è assurdo.
In modo analogo abbiamo che se \( f'''(x_0) < 0 \)
\( f(x_0 + \delta ) = f(x_0) + \frac{1}{3!} f'''(x_0) \delta^3 + \operatorname o(\delta^3) < f(x_0) \)
Che è assurdo!
Dunque \( f'''(x_0) = 0 \)
La mia domanda è: il termine \( \operatorname o(\delta^3) \) posso considerarlo ininfluente sulla somma tra \(f(x_0) \pm \frac{1}{3!} f'''(x_0) \delta^3 \) che mi permette di concludere con la contraddizione che \( f(x_0 \pm \delta ) < f(x_0) \) a dipendenza dei casi ? Se si perché è ininfluente? Grazie.
Risposte
Ho una dimostrazione alternativa che evita di scomodare gli o-piccolo e quindi bypassa il problema ma non so se è valida. L'avevo vista per la derivata seconda ma ho provato ad estenderla.
Hp:
$f in C^3(RR)$
$f'(x_0)=0$
$f''(x_0)=0$
Th:
$f'''(x_0)=0$
dim.
Calcolo il limite:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)^3$
È una forma 0/0 applico DeL'Hôspital.
$=lim_(x->x_0)(f'(x))/(3*(x-x_0)^2)$ Dato che $f'(x_0)=0$ lo sottraggo al numeratore, ottenendo un'altra forma 0/0
$=lim_(x->x_0)(f'(x)-f'(x_0))/(3*(x-x_0)^2)=$
Riapplico DH:
$=lim_(x->x_0)((f''(x))/(3*2*(x-x_0)))$
Anche qui essendo anche la derivata seconda nulla in $x_0$ posso sommarla al numeratore:
$=lim_(x->x_0)(f''(x)-f''(x_0))/(6*(x-x_0))$
Essendo la funzione derivabile questo limite si può calcolare e lo conosciamo, per cui:
$=(f'''(x_0))/6$
Per il teorema di del'Hopital si ha:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)^3=(f'''(x_0))/6$
Se suppongo, per assurdo, che $f'''(x_0)>0$ per il teorema di permanenza del segno dovrei avere che f(x) è crescente in un intorno di $x_0$, e questo sarebbe in contraddizione col fatto che $x_0$ è un punto a derivata nulla. Vediamo se c'è qualche utente più esperto che può confermare quanto detto però.
Hp:
$f in C^3(RR)$
$f'(x_0)=0$
$f''(x_0)=0$
Th:
$f'''(x_0)=0$
dim.
Calcolo il limite:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)^3$
È una forma 0/0 applico DeL'Hôspital.
$=lim_(x->x_0)(f'(x))/(3*(x-x_0)^2)$ Dato che $f'(x_0)=0$ lo sottraggo al numeratore, ottenendo un'altra forma 0/0
$=lim_(x->x_0)(f'(x)-f'(x_0))/(3*(x-x_0)^2)=$
Riapplico DH:
$=lim_(x->x_0)((f''(x))/(3*2*(x-x_0)))$
Anche qui essendo anche la derivata seconda nulla in $x_0$ posso sommarla al numeratore:
$=lim_(x->x_0)(f''(x)-f''(x_0))/(6*(x-x_0))$
Essendo la funzione derivabile questo limite si può calcolare e lo conosciamo, per cui:
$=(f'''(x_0))/6$
Per il teorema di del'Hopital si ha:
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)^3=(f'''(x_0))/6$
Se suppongo, per assurdo, che $f'''(x_0)>0$ per il teorema di permanenza del segno dovrei avere che f(x) è crescente in un intorno di $x_0$, e questo sarebbe in contraddizione col fatto che $x_0$ è un punto a derivata nulla. Vediamo se c'è qualche utente più esperto che può confermare quanto detto però.
@SirDanielFortesque: si, ma la dimostrazione con la formula di Taylor è più efficiente perché ti dà una maniera di ricordarti velocemente il risultato. Infatti, queste cose sono tutti generalizzazioni di facili teoremi che riguardano i polinomi; il generico polinomio di terzo grado
\[\tag{1}
p(x)=a(x-x_0)^3+b(x-x_0)^2+ c(x-x_0)+d
\]
ha un minimo in \(x_0\) se e solo se \(a=c=0\) e \(b>0\). E questo si vede subito, con un minimo di pratica.
Se ti trovi davanti una funzione, sei ad un esame, ti sta scadendo il tempo e non hai il libro, come fai a stabilire la condizione per avere un minimo locale? Ti scrivi il polinomio di Taylor associato, che è della forma (1), e ti ricordi subito che la condizione è \(f'''(x_0)=f'(x_0)=0\) e \(f''(x_0)>0\).
\[\tag{1}
p(x)=a(x-x_0)^3+b(x-x_0)^2+ c(x-x_0)+d
\]
ha un minimo in \(x_0\) se e solo se \(a=c=0\) e \(b>0\). E questo si vede subito, con un minimo di pratica.
Se ti trovi davanti una funzione, sei ad un esame, ti sta scadendo il tempo e non hai il libro, come fai a stabilire la condizione per avere un minimo locale? Ti scrivi il polinomio di Taylor associato, che è della forma (1), e ti ricordi subito che la condizione è \(f'''(x_0)=f'(x_0)=0\) e \(f''(x_0)>0\).
In effetti è vero.
@SirDanielFortesque:
[ot]È da parecchio che volevo dirtelo, io la storia del conte non la conosco.
[/ot]
@3m0o:
Se prendi \(\delta\) sufficientemente piccolo, il termine di secondo grado, che è strettamente positivo, si mangia l'o-piccolo (come dicono i francesi). Non so se questo ti basta o se vuoi più dettagli.
[ot]È da parecchio che volevo dirtelo, io la storia del conte non la conosco.
[/ot]@3m0o:
Se prendi \(\delta\) sufficientemente piccolo, il termine di secondo grado, che è strettamente positivo, si mangia l'o-piccolo (come dicono i francesi). Non so se questo ti basta o se vuoi più dettagli.
@dissonance , fuori tema:
"SirDanielFortesque":
Ho una dimostrazione alternativa che evita di scomodare gli o-piccolo e quindi bypassa il problema ma non so se è valida. L'avevo vista per la derivata seconda ma ho provato ad estenderla.
Hp:
$f in C^3(RR)$
$f'(x_0)=0$
$f''(x_0)=0$
Th:
$f'''(x_0)=0$
[...]
Formulato cosi' è falso. Prendi \(g(x) = (x-x_0)^3\).
Si, scusa, ho dimenticato di scrivere che deve essere un punto di minimo. $g(x)$ ha un flesso orizzontale in $x_0$ e quindi capita che la prima derivata non nulla è dispari. Con questa correzione adesso è giusto?
"SirDanielFortesque":
Si, scusa, ho dimenticato di scrivere che deve essere un punto di minimo. $g(x)$ ha un flesso orizzontale in $x_0$ e quindi capita che la prima derivata non nulla è dispari. Con questa correzione adesso è giusto?
In sostanza, se ho capito bene, vuoi violare il criterio delle derivate successive... la cui dimostrazione (che mutatis mutandis è quella di OP) fa ricorso agli sviluppi di Taylor.
No. Allora non ho capito dove sta l'errore. Se ho sbagliato mi scuso.
Se vuoi dimostrare qualcosa
1. enuncia quel qualcosa con tutti i crismi;
2. scrivi una dimostrazione che gli altri possano intendere. La matematica dev'essere chiara per sua essenza, nascondere equivale ad un furto (del tempo di chi ti legge).
Questo
come ti ho già detto, non dimostra il teorema nel modo in cui lo hai enunciato. Aggiungendo l'ipotesi "\(x_0\) è punto di minimo (locale) per \(f\)" arrivi ad una contraddizione, apparentemente (ri)usando l'idea di quello che a volte viene chiamato "criterio delle derivate successive": \(f'''(x_0)>0\) implica \( f'' \le 0 \) in un intorno sinistro di \( x_0\) e \( f'' \ge 0 \) in un intorno destro di \( x_0\) che implica \(f' \) descrescente in un intorno sinistro di \( x_0\) e \( f' \) crescente in un intorno destro di \( x_0\) che implica comunque \( f \) crescente in un intorno di \(x_0\) (perche' \(f'\) e' ivi positiva), contraddizione.
1. enuncia quel qualcosa con tutti i crismi;
2. scrivi una dimostrazione che gli altri possano intendere. La matematica dev'essere chiara per sua essenza, nascondere equivale ad un furto (del tempo di chi ti legge).
Questo
"SirDanielFortesque":
[...] Se suppongo, per assurdo, che $f'''(x_0)>0$ per il teorema di permanenza del segno dovrei avere che f(x) è crescente in un intorno di $x_0$, e questo sarebbe in contraddizione col fatto che $x_0$ è un punto a derivata nulla. Vediamo se c'è qualche utente più esperto che può confermare quanto detto però.
come ti ho già detto, non dimostra il teorema nel modo in cui lo hai enunciato. Aggiungendo l'ipotesi "\(x_0\) è punto di minimo (locale) per \(f\)" arrivi ad una contraddizione, apparentemente (ri)usando l'idea di quello che a volte viene chiamato "criterio delle derivate successive": \(f'''(x_0)>0\) implica \( f'' \le 0 \) in un intorno sinistro di \( x_0\) e \( f'' \ge 0 \) in un intorno destro di \( x_0\) che implica \(f' \) descrescente in un intorno sinistro di \( x_0\) e \( f' \) crescente in un intorno destro di \( x_0\) che implica comunque \( f \) crescente in un intorno di \(x_0\) (perche' \(f'\) e' ivi positiva), contraddizione.
Ne farò tesoro e cerchero di migliorare l'esposizione per la prossima volta. Grazie. Ciao.
"dissonance":
Se prendi \(\delta\) sufficientemente piccolo, il termine di secondo grado, che è strettamente positivo, si mangia l'o-piccolo (come dicono i francesi). Non so se questo ti basta o se vuoi più dettagli.
Perché con \( \delta \) sufficientemente piccolo il termine di secondo grado (che vale zero in quanto \( f''(x_0) = 0 \) si mangia l'o-piccolo? Se possibile gradirei più dettagli, per capire meglio, perché non mi è chiarissimo.
Avevo scritto di recente una cosa simile qua:
https://math.stackexchange.com/a/2893091/8157
vedi un po' se ti aiuta, in fondo è la stessa cosa.
https://math.stackexchange.com/a/2893091/8157
vedi un po' se ti aiuta, in fondo è la stessa cosa.
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