Funzione in C^2, derivata 2 che non ammette limite

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Sia \( f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) una funzione di classe \(\mathcal{C}^2\) tale che per tutti gli \( n \in \mathbb{N} \), \( f(2n)=2n\) e \(f(2n+1)=2n+2\). Dimostra che \( f''(x)\) non ha limite quando \( x \rightarrow + \infty\)

A naso direi che \( f' \) è periodica (e non costante) e dunque \( f'' \) è periodica (e non costante) pertanto seguirebbe che \( f''\) non ammette limite quando \( x \rightarrow + \infty\), ma non so come dimostrare che \( f' \) è periodica (e non costante).
Ho pensato che magari potesse essere d'aiuto definire una funzione \( g(x)=f(x+1)-f(x) \), infatti questa funzione non ammette limite quando \( x \rightarrow + \infty\), infatti per tutti gli \( n \) naturali abbiamo \( g(2n)=2 \) e \( g(2n+1)=0 \) e se esistesse un limite sarebbe unico e dunque \( \lim\limits_{x \to \infty } g(x) = \lim\limits_{x \to \infty } g(2x) = \lim\limits_{x \to \infty } g(2x+1) \)
Ma
\( \lim\limits_{x \to \infty } g(2x) = \lim\limits_{x \to \infty } g(2)=2 \) e \( \lim\limits_{x \to \infty } g(2x+1) = \lim\limits_{x \to \infty } g(1)=0 \)

[gugo82]

Lagrange applicato un po' di volte dovrebbe andare...

Fissato $n$ esistono $xi_n in ]2n, 2n+1[$ ed $eta_n in ]2n+1, 2n+2[$ t.c. $f^\prime (xi_n)=2$ ed $f^\prime (eta_n) =0$; per lo stesso motivo esistono $theta_n in ]xi_n, eta_n[$ e $kappa_n in ]eta_n, xi_(n+1)[$ t.c. $f^{\prime \prime} (theta_n)= -2/(eta_n - xi_n) < -1$ e $f^{\prime \prime} (kappa_n)=2/(xi_(n+1)-eta_n)>1$... O no?