Funzione impossibile da studiare
Salve a tutti, ho questa funzione della quale dovrei tracciare il grafico
$f(x)=(x-log(x^2-9x))/(|x|)$
So che il dominio è:
${x in RR : x<0, x>9} $
I limiti sono:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)=1$
$\lim_{x \to \-infty}f(x)=-1$
$\lim_{x \to \0^-}f(x)=-infty$
$\lim_{x \to \9^+}f(x)=+infty$
La derivata prima (per $x>0$) è:
$f'(x)= (-2x+9+(x-9)log(x^2-9x))/(x^2(x-9))$
Fin qui tutto ok, ora sto cercando di trovare i punti in cui la funzione e la derivata prima si annullano, solo che essendo del tipo "$log(f(x))+g(x)$" non riesco a trovarli.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie!!
$f(x)=(x-log(x^2-9x))/(|x|)$
So che il dominio è:
${x in RR : x<0, x>9} $
I limiti sono:
$\lim_{x \to \+infty}f(x)=1$
$\lim_{x \to \-infty}f(x)=-1$
$\lim_{x \to \0^-}f(x)=-infty$
$\lim_{x \to \9^+}f(x)=+infty$
La derivata prima (per $x>0$) è:
$f'(x)= (-2x+9+(x-9)log(x^2-9x))/(x^2(x-9))$
Fin qui tutto ok, ora sto cercando di trovare i punti in cui la funzione e la derivata prima si annullano, solo che essendo del tipo "$log(f(x))+g(x)$" non riesco a trovarli.
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie!!
Risposte
Non necessariamente deve esistere una forma esplicita per trovare le soluzioni dell'equazione.Potresti approssimarle credo
Chiaramente la derivata ha almeno uno zero in \(]9,\infty[\).
Infatti, il numeratore:
\[
N(x) := -2x + 9 + (x-9)\ \log (x^2-9x)
\]
tende a \(-9\) per \(x\to 9^+\) e tende a \(\infty\) per \(x\to \infty\); essendo il numeratore continuo, il teorema degli zeri si applica e garantisce l'esistenza di almeno un valore \(c\in ]9,\infty[\) per cui \(N(c)=0\).
Ora dobbiamo faticare un po' per ottenere ulteriori informazioni.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
N^\prime (x) &= -2 +\log (x^2-9x) + (x-9)\ \frac{2x-9}{x^2-9x}\\
&= -2 + \log (x^2-9x) + \frac{2x-9}{x}\\
&= \log (x^2-9x) - \frac{9}{x}\\
N^{\prime \prime} (x) &= \frac{2x-9}{x^2-9x} +\frac{9}{x^2}\\
&= \frac{2x^2-9x+9x-81}{x^2(x-9)}\\
&= \frac{2x^2-81}{x^2(x-9)}\\
&= \frac{(\sqrt{2}\ x - 9)(\sqrt{2}\ x+9)}{x^2 (x-9)}\; ;
\end{split}
\]
per \(x>9\) si ha evidentemente \(N^{\prime \prime} (x)>0\), dunque \(N^\prime (x)\) è strettamente crescente ed \(N (x)\) è strettamente convessa; dato che:
\[
\lim_{x\to 9^+} N^\prime (x) = -\infty \qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to \infty} N^\prime (x) = \infty
\]
ed \(N^\prime\) è continua, il teorema degli zeri si applica e fornisce l'esistenza di un \(d\in ]9,\infty[\) tale che \(N^\prime (d)=0\); tale punto \(d\) è unico (per stretta monotonia di \(N^\prime\)) e si ha certamente \(N(d)=\min_{]9,\infty[} N\) (per stretta convessità di \(N\)); da ciò segue che \(N(d)<0\): infatti, se così non fosse, dovrebbe aversi sempre \(N(x)\geq N(d)\geq 0\), contro il fatto che \(\lim_{x\to 9^+} N(x)<0\).
Ne viene che \(N(x)\) decresce strettamente in \(]9,d]\) (perciò rimanendo negativa in tale intervallo) e cresce strettamente in \(]d,\infty[\). Conseguentemente, lo zero di \(N(x)\) è unico e si trova in \(]d,\infty[\).
Possiamo ora usare le informazioni trovate per analizzare il segno della derivata prima della funzione \(f(x)\): invero, abbiamo:
\[
N(x)\leq 0 \text{ in } ]9,c[\qquad \text{e}\qquad N(x)>0 \text{ in } ]c,\infty[
\]
con \(c>9\), mentre il denominatore \(D(x):=x^2(x-9)\) è positivo in \(]9,\infty[\); conseguentemente, la funzione \(f\) è strettamente decrescente in \(]9,c]\) e strettamente crescente in \([c,\infty[\), sicché \(f\) raggiunge un minimo locale stretto in \(c\).
Graficamente, si vede che \(c\approx 13.35\).
Infatti, il numeratore:
\[
N(x) := -2x + 9 + (x-9)\ \log (x^2-9x)
\]
tende a \(-9\) per \(x\to 9^+\) e tende a \(\infty\) per \(x\to \infty\); essendo il numeratore continuo, il teorema degli zeri si applica e garantisce l'esistenza di almeno un valore \(c\in ]9,\infty[\) per cui \(N(c)=0\).
Ora dobbiamo faticare un po' per ottenere ulteriori informazioni.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
N^\prime (x) &= -2 +\log (x^2-9x) + (x-9)\ \frac{2x-9}{x^2-9x}\\
&= -2 + \log (x^2-9x) + \frac{2x-9}{x}\\
&= \log (x^2-9x) - \frac{9}{x}\\
N^{\prime \prime} (x) &= \frac{2x-9}{x^2-9x} +\frac{9}{x^2}\\
&= \frac{2x^2-9x+9x-81}{x^2(x-9)}\\
&= \frac{2x^2-81}{x^2(x-9)}\\
&= \frac{(\sqrt{2}\ x - 9)(\sqrt{2}\ x+9)}{x^2 (x-9)}\; ;
\end{split}
\]
per \(x>9\) si ha evidentemente \(N^{\prime \prime} (x)>0\), dunque \(N^\prime (x)\) è strettamente crescente ed \(N (x)\) è strettamente convessa; dato che:
\[
\lim_{x\to 9^+} N^\prime (x) = -\infty \qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to \infty} N^\prime (x) = \infty
\]
ed \(N^\prime\) è continua, il teorema degli zeri si applica e fornisce l'esistenza di un \(d\in ]9,\infty[\) tale che \(N^\prime (d)=0\); tale punto \(d\) è unico (per stretta monotonia di \(N^\prime\)) e si ha certamente \(N(d)=\min_{]9,\infty[} N\) (per stretta convessità di \(N\)); da ciò segue che \(N(d)<0\): infatti, se così non fosse, dovrebbe aversi sempre \(N(x)\geq N(d)\geq 0\), contro il fatto che \(\lim_{x\to 9^+} N(x)<0\).
Ne viene che \(N(x)\) decresce strettamente in \(]9,d]\) (perciò rimanendo negativa in tale intervallo) e cresce strettamente in \(]d,\infty[\). Conseguentemente, lo zero di \(N(x)\) è unico e si trova in \(]d,\infty[\).
Possiamo ora usare le informazioni trovate per analizzare il segno della derivata prima della funzione \(f(x)\): invero, abbiamo:
\[
N(x)\leq 0 \text{ in } ]9,c[\qquad \text{e}\qquad N(x)>0 \text{ in } ]c,\infty[
\]
con \(c>9\), mentre il denominatore \(D(x):=x^2(x-9)\) è positivo in \(]9,\infty[\); conseguentemente, la funzione \(f\) è strettamente decrescente in \(]9,c]\) e strettamente crescente in \([c,\infty[\), sicché \(f\) raggiunge un minimo locale stretto in \(c\).
Graficamente, si vede che \(c\approx 13.35\).
Grazie mille per la risposta.
Con Wolfram ho scoperto che in effetti la funzione ha un minimo globale (come dicevi anche tu) in $x~~13,35$ e uno locale in $x~~-0,30$
[img]http://www.wolframalpha.com/share/img?i=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e7ar44n180l&f=HBQTQYZYGY4TMM3EMI3WENJVGQYDCNBTMNSTAZLGME3DCMTGMI3Aaaaa[/img]
Quello che non riesco a capire è però come faccio a trovarli se non riesco a vedere dove si annulla la derivata prima...
Grazie
Con Wolfram ho scoperto che in effetti la funzione ha un minimo globale (come dicevi anche tu) in $x~~13,35$ e uno locale in $x~~-0,30$
[img]http://www.wolframalpha.com/share/img?i=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e7ar44n180l&f=HBQTQYZYGY4TMM3EMI3WENJVGQYDCNBTMNSTAZLGME3DCMTGMI3Aaaaa[/img]
Quello che non riesco a capire è però come faccio a trovarli se non riesco a vedere dove si annulla la derivata prima...
Grazie
"rexmax":
Quello che non riesco a capire è però come faccio a trovarli se non riesco a vedere dove si annulla la derivata prima...
Come ho fatto io: ti fai un'idea di dove cercare gli zeri della derivata (con tutti gli strumenti che hai a disposizione), poi li approssimi.
Tanto, il più delle volte, non c'è bisogno di essere troppo precisi per tracciare un grafico.
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