Funzione implicita e Funzione Convessa

[CallistoBello]

Esercizio:
i)Verificare che in un INTORNO del PUNTO (1,1) , l'insieme dei PUNTI (x,y) che soddisfano l'equazione:
$x^5+y^5+xy=3$
è dato dal grafico di una funzione y=g(x)
ii) Stabilire se la funzione g è CONVESSA

i)
1. $f(1,1)=3-3=0$
2. $f_y(1,1)=5+1=6$
--> quindi , per il Teorema del DINI, quell'equazione definisce implicitamente una ed una sola y=g(x)
con g(1)=1.

ii)
Derivando rispetto ad x l'equazione f(x,g(x))=0 si ottiene che:
$g'(1)=-1$ , $g''(1)=-5$

Siccome la Derivata seconda è negativa, se ne deduce che la funzione implicita è strettamente CONCAVA.

Corretto?

[otta96]

Non sai se è tutta concava (hai informazione solo in un punto) ma senz'altro non può essere tutta convessa.

[CallistoBello]

Quindi , posso concludere che:
- la funzione g certamente è "non convessa" in un intorno del punto $x_0=1$
- ma non posso concludere altro?

Mi spiego meglio: l'esercizio finisce qui, oppure c'è altro che posso concludere?

[otta96]

Beh dato che la derivata seconda della funzione è continua, puoi anche concludere che è concava in un intorno del punto, ma non puoi sapere se lo è in tutto il suo dominio in cui è possibile definirla.

[CallistoBello]

E come fai a dire che anche la derivata seconda è continua?

Il teorema del dini ci assicura che: $g in C^1(I)$ con I intorno del Punto $(x_0,y_0)$
Quindi ho informazioni sulla continuità di $g'$ , ma non di $g''$

[otta96]

Se questa osservazione non l'avete fatta a lezione, prova tu a farla ora, ovvero dimostra che $g$ è $C^\infty$.
Suggerimento:

Riparti da quando dicevi: "Derivando rispetto ad $x$ l'equazione $f(x,g(x))=0$ si ottiene che:" e ragiona per induzione.