Funzione Implicita dubbio
Buongiorno a tutti,
avrei un dubbio pratico sulle funzioni implicite, anche se forse in realtà è un dubbio sulla soluzione dei sistemi
Per capirci meglio, spiego il mio dubbio con un esempio.
Prendiamo la funzione di due variabili $F(x,y)=x^2y+\log(x)+xe^{-y}-1$ e vogliamo studiare se, dove, quando, come e perché l'equazione $F(x,y)=0$ definisca qualche funzione implicita. ovviamente per $x>0$.
Adesso tralasciamo per un attimo l'approccio "classico" e diciamo che per ora ce ne freghiamo di studiare la funzione implicita.
Ora per sfizio facciamo entrambe le derivate parziali ottenendo $F_y(x,y)=x^2-xe^{-y}$ e $F_x(x,y)=2xy+\frac 1x +e^{-y}$.
Adesso quello che mi viene in mente di fare è trovare quei punti che singolarmente annullano una derivata e contemporaneamente fanno parte della mia ipotetica funzione/i implicita/e .
Quindi parto, voglio risolvere prima $F_y=0$ quindi procedo visto che $x>0$ ottengo che l'unica soluzione è $x=e^{-y}$ perfetto, la soluzione è pure in forma esplicita quindi mi viene da dire bene studio $F(e^{-y},y)=0$ per vedere se c'è qualche punto che soddisfa le mie richieste o se oppure non ve n'è nessuno.
Con molto piacere scopro che ci sono due soluzioni $y=0$ e $y=-1$ quindi i punti $(1,0)$ e $(e,-1)$ sono i punti che cercavo, infatti se provo a sostituirli in $F$ ottengo zero.
Fin qui tutto bene ottimo!
Ora non vedo perché non fare lo stesso anche con $F_x$, quindi procedo, $F_x(x,y)=0$ significa che ho
$$
2xy+\frac 1x +e^{-y}=0
$$
ora visto che $x>0$ posso moltiplicare per $x$ e rimaneggiare gli addendi in modo da ottenere dalla precedente l'uguaglianza:
$$
x^2y+xe^{-y}=-(1+x^2y)
$$
Ora dico questa è la soluzione in forma implicita di $F_x=0$ in teoria(chi lo sa?!) nulla mi dovrebbe vietare di inserirla nell'equazione $F=0$ quindi lo faccio ottenendo :
$$
-(1+x^2y)+\log(x)-1=0
$$
che mi porta ad ottenere
$$
y=\frac{\log(x)-2}{x^2}
$$
E per come ho svolto i passaggi mi verrebbe(ragionevolmente credo) da pensare che in questo caso i punti che contemporaneamente annullano $F$ ed $F_x$ non sono più solo due punti, ma siano tutti i punti lungo la funzione trovata...
Ora a parte il fatto che non so che forma potrà mai avere una funzione implicita con infiniti punti tali che $F_x=0$ (sempre che possa esistere)... ma il punto è un altro ho provato a verificare se $F$ fosse nullo lungo la curva, ma non è assolutamente così... Ebbene questo non me lo so spiegare... o ho sbagliato i conti(e lo spero) e quindi funziona tutto il ragionamento, ma io rimango una capra tibetana... oppure c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento che non capisco... l'unica differenza in fondo è che nel primo caso ho trovato una soluzione in forma esplicita, mentre nel secondo è in forma implicita, ma non vedo perché questo dovrebbe fare differenza.
Cosa ne pensate??
avrei un dubbio pratico sulle funzioni implicite, anche se forse in realtà è un dubbio sulla soluzione dei sistemi
Per capirci meglio, spiego il mio dubbio con un esempio.
Prendiamo la funzione di due variabili $F(x,y)=x^2y+\log(x)+xe^{-y}-1$ e vogliamo studiare se, dove, quando, come e perché l'equazione $F(x,y)=0$ definisca qualche funzione implicita. ovviamente per $x>0$.
Adesso tralasciamo per un attimo l'approccio "classico" e diciamo che per ora ce ne freghiamo di studiare la funzione implicita.
Ora per sfizio facciamo entrambe le derivate parziali ottenendo $F_y(x,y)=x^2-xe^{-y}$ e $F_x(x,y)=2xy+\frac 1x +e^{-y}$.
Adesso quello che mi viene in mente di fare è trovare quei punti che singolarmente annullano una derivata e contemporaneamente fanno parte della mia ipotetica funzione/i implicita/e .
Quindi parto, voglio risolvere prima $F_y=0$ quindi procedo visto che $x>0$ ottengo che l'unica soluzione è $x=e^{-y}$ perfetto, la soluzione è pure in forma esplicita quindi mi viene da dire bene studio $F(e^{-y},y)=0$ per vedere se c'è qualche punto che soddisfa le mie richieste o se oppure non ve n'è nessuno.
Con molto piacere scopro che ci sono due soluzioni $y=0$ e $y=-1$ quindi i punti $(1,0)$ e $(e,-1)$ sono i punti che cercavo, infatti se provo a sostituirli in $F$ ottengo zero.
Fin qui tutto bene ottimo!
Ora non vedo perché non fare lo stesso anche con $F_x$, quindi procedo, $F_x(x,y)=0$ significa che ho
$$
2xy+\frac 1x +e^{-y}=0
$$
ora visto che $x>0$ posso moltiplicare per $x$ e rimaneggiare gli addendi in modo da ottenere dalla precedente l'uguaglianza:
$$
x^2y+xe^{-y}=-(1+x^2y)
$$
Ora dico questa è la soluzione in forma implicita di $F_x=0$ in teoria(chi lo sa?!) nulla mi dovrebbe vietare di inserirla nell'equazione $F=0$ quindi lo faccio ottenendo :
$$
-(1+x^2y)+\log(x)-1=0
$$
che mi porta ad ottenere
$$
y=\frac{\log(x)-2}{x^2}
$$
E per come ho svolto i passaggi mi verrebbe(ragionevolmente credo) da pensare che in questo caso i punti che contemporaneamente annullano $F$ ed $F_x$ non sono più solo due punti, ma siano tutti i punti lungo la funzione trovata...
Ora a parte il fatto che non so che forma potrà mai avere una funzione implicita con infiniti punti tali che $F_x=0$ (sempre che possa esistere)... ma il punto è un altro ho provato a verificare se $F$ fosse nullo lungo la curva, ma non è assolutamente così... Ebbene questo non me lo so spiegare... o ho sbagliato i conti(e lo spero) e quindi funziona tutto il ragionamento, ma io rimango una capra tibetana... oppure c'è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento che non capisco... l'unica differenza in fondo è che nel primo caso ho trovato una soluzione in forma esplicita, mentre nel secondo è in forma implicita, ma non vedo perché questo dovrebbe fare differenza.
Cosa ne pensate??
Risposte
Ciao! 
Il tuo ragionamento può essere considerato corretto fino a quando, dopo aver moltiplicato per $x$ l'espressione $F_x$, l'hai sostituita dentro alla funzione $F(x,y)=0$, successivamente non ti devi però scordare che stavi risolvendo un sistema, quindi insieme alla funzione che hai ottenuto, cioè $y=\frac{\log(x)-2}{x^2}$, devi mettere a sistema la tua vecchia $F_x=2xy+\frac{1}{x}+e^{-y}=0$, così facendo scoprirai con un pò di impegno e calcoli di che questo sistema non ha soluzioni.
E questa cosa è coerente, infatti se studi la funzione implicita noterai che questa non ha dei massimi, infatti se ti ricordi risolvere il sistema $F(x,y)=0$ e $F_x=0$ è l'equivalente di cercare punti massimo nella funzione implicita, poiché la derivata della funzione implicita $f(x)$ in un punto è: $f'(x_0)=-\frac{F_x(x_0)}{F_y(x_0)}$
Spero di essere stata di aiuto ma sopratutto chiara!
Il tuo ragionamento può essere considerato corretto fino a quando, dopo aver moltiplicato per $x$ l'espressione $F_x$, l'hai sostituita dentro alla funzione $F(x,y)=0$, successivamente non ti devi però scordare che stavi risolvendo un sistema, quindi insieme alla funzione che hai ottenuto, cioè $y=\frac{\log(x)-2}{x^2}$, devi mettere a sistema la tua vecchia $F_x=2xy+\frac{1}{x}+e^{-y}=0$, così facendo scoprirai con un pò di impegno e calcoli di che questo sistema non ha soluzioni.
E questa cosa è coerente, infatti se studi la funzione implicita noterai che questa non ha dei massimi, infatti se ti ricordi risolvere il sistema $F(x,y)=0$ e $F_x=0$ è l'equivalente di cercare punti massimo nella funzione implicita, poiché la derivata della funzione implicita $f(x)$ in un punto è: $f'(x_0)=-\frac{F_x(x_0)}{F_y(x_0)}$
Spero di essere stata di aiuto ma sopratutto chiara!
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