Funzione implicita crescente

[mikandrea]

Buongiorno,
ho un dubbio a riguardo del seguente quesito:
"Data una funzione $ Fin C^2(R^2) $ tale che $ F(0,0)=8 $, se \( \bigtriangledown F(0,0)=(1,-1) \), F(x,y)=8 in un intorno di (0,0) definisce implicitamente una funzione x=h(y) tale che h(0)=0. è h strettamente crescente?"
Ricavo che \( h'(0)=1 \) quindi h è crescente in (0,0). è però possibile dire se h è strettamente crescente?
Grazie

[gugo82]

Che vuol dire che una funzione di una variabile è crescente in $(0,0) in RR^2$?
Seconda cosa, che vuol dire che una funzione è crescente in un punto?

[mikandrea]

"gugo82":Che vuol dire che una funzione di una variabile è crescente in $(0,0) in RR^2$?
Seconda cosa, che vuol dire che una funzione è crescente in un punto?

Mi sono espresso male, intendevo dire che la derivata prima di h è positiva in (0,0).
Non riesco però a capire se questo possa aiutarmi in alcun modo a capire se h è strettamente crescente.

[gugo82]

Ma $h$ ed $h^\prime$ sono funzioni di una variabile... Come fanno ad essere calcolabili in $(0,0)$?

Per il resto, il Teorema del Dini ti dà anche un risultato di regolarità per la funzione implicitamente definita da un'equazione.
Sfruttando questo ed la Permanenza del Segno dovresti riuscire a risolvere.

[mikandrea]

"gugo82":Ma $h$ ed $h^\prime$ sono funzioni di una variabile... Come fanno ad essere calcolabili in $(0,0)$?

Per il resto, il Teorema del Dini ti dà anche un risultato di regolarità per la funzione implicitamente definita da un'equazione.
Sfruttando questo ed la Permanenza del Segno dovresti riuscire a risolvere.

Sì, h sarà strettamente crescente in un intervallo del tipo [y0 − ε2, y0 + ε2]. Il quesito chiede però se "è possibile dire se h è strettamente crescente" (non fa riferimento all'intervallo) il che mi sta creando questo dubbio.