Funzione implicita

[vivi996]

Questo era l'altro esercizio non chiaro di cui parlavo.


Calcolare le derivata prima in $x_0$ della funzione definita implicitamente in un intorno
del punto $(2,0)$ da

$f(x,y)=x log(1 + xy) + cos(xy) = 1 − y^2$
Il punto soddisfa la prima condizione, cioè $f(x_0,y_0)=0$
Calcolo la derivata rispetto ad $y$ e trovo che
$(delf(x_0,y_0))/(dely) = 4$
Dunque anche la seconda richiesta del teorema del Dini è soddisfatta.

Dopodichè calcolo la derivata rispetto ad x e grazie al rapporto di queste due mi trovo la funzione implicita. Quindi dovrei dire che $\varphi'(x_0)=0$ dal momento che so anche che $\varphi(x_0)=y_0$
Allora porrei il rapporto delle derivate parziali $=0$ e troverei la funzione implicita. Infine la deriverei. Sbaglio? Non ho capito nulla?

[feddy]

@vivi96

Questo è un teorema importantissimo, e il fatto che tu ponga due domande sul forum praticamente uguali significa che non l'hai capito. Non è un caso che in ogni corso decente di Analisi II venga trattato con tanta attenzione, ed esercizi al seguito. Inoltre, leggere

calcolo la derivata rispetto ad x e grazie al rapporto di queste due mi trovo la funzione implicita.

fa proprio capire che stai prendendo questo argomento in modo totalmente meccanico.
Per favore, rileggiti [note] studia la dimostrazione! [/note] il teorema e, se non hai un buon libro di analisi, cerca su internet del materiale e degli esempi.

Cerca di capire in particolare il caso $F: RR^2 \rarr RR$, che graficamente è molto semplice.

Fatto ciò praticamente l'esercizio sarà una scemata