Funzione implicita

[laura1232]

Supponiamo di avere una funzione $F(x;y)$ per cui sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Dini in $(2;3)$ e quindi riesco ad affermare che è definita una funzione implicita di $y(x)$. Se adesso volessi fare uno sviluppo di Taylor di tale funzione in $x=0$ come faccio a sapere se la mia funzione implicita è valida fino ad x=0 se il teorema mi parla solo di in un intorno di 2? E'sufficiente verificare che la derivata parziale $\partial_y F(x,y)$ è diversa da 0 in ogni punto di un intervallo che contiene sia il 2 che lo 0?

[otta96]

Non puoi sapere se la funzione è definita anche in $0$, essendoti garantita la sua esistenza solamente in un intorno di $2$, infatti ci sono dei casi in cui non lo è.

[laura1232]

ma se $F$ è definita e differenziabile su tutto $R^2$ e la derivata parziale rispetto a $y$ non si annulla non potrei usare l'unicità garantita dal teorema di Dini per "arrivare" a $x=0$?

[otta96]

Se la funzione però per $x=0$ non si annulla mai (più in generale non assuma mai il valore $F(2,3)$, che non è proprio indispensabile che sia $0$) non c'è speranza che la funzione già definita implicitamente si possa estendere fino a $0$, ti torna?

[laura1232]

infatti, ma ad intuito la condizione sulla derivata rispetto ad $y$ mi sembra possa garantire che l'estensione sia possibile e che in particolare da qualche parte lungo l'asse y la funzione $F(x,y)$ si debba annullare.

[otta96]

Non ci ho pensato tantissimo, ma la funzione $F(x, y) =xy-6$ dovrebbe essere un controesempio, fai qualche calcolo per verificarlo.

[dissonance]

@otta96: Certamente, e infatti con la funzione del tuo esempio si ha $\partial_y F(0, y)=0$. Quanto dice Laura è vero, posto che \(\partial_y F(x, y)\ne 0\) per ogni \(x\in(0, 2)\) e \(y\in \mathbb R\).

[laura1232]

"dissonance": posto che \(\partial_y F(x, y)\ne 0\) per ogni \(x\in(0, 2)\) e \(y\in \mathbb R\).

aspetta, 0 dovrebbe essere interno all'intervallo per cui \(\partial_y F(x, y)\ne 0\) cioè per ogni x appartenente ad un aperto che contiene l'intervallo [0,2] altrimenti la funzione $xy-6$ soddisfa tale condizione. Dico bene?

[otta96]

@dissonance Non avevo tenuto adeguatamente conto della condizione $F_y(x,y)!=0$ ma c'è una cosa che non capisco, perché prendi l'intervallo aperto? Non è forse vero che anche il mio "controesempio" soddisfa quella condizione sull'intervallo aperto $(0,2)$?

[dissonance]

Giusto, l'intervallo deve essere chiuso, altrimenti -tac- controesempio \(F(x, y)=xy-1\). Quanto al resto, il discorso è il seguente. La funzione implicita \(y(x)\) esiste in un intervallino centrato in \(3\). Quindi per \(x\in [3-\delta, 3+\delta]\) abbiamo
\[
F(x, y(x))=0.\]
Se adesso
\[\tag{1}
\partial_y F(3-\delta, y(3-\delta))\ne 0,\]
allora la soluzione si può prolungare un pezzettino a sinistra ed esiste per \(x\in [3-\delta-\delta', 3+\delta]\). Ma come facciamo a verificare (1)? Vattelapesca chi è \(y(3-\delta)\). Chiaro, se sappiamo che
\[\tag{2}
\partial_f( 3-\delta, y)\ne 0\ \quad \forall y\in \mathbb R,\]
allora (1) è verificata sicuramente. Ma la (2) è una richiesta molto forte.

Il discorso si può prolungare a tutte le \(x<3\), posto che \(\partial_y F(x, y)\ne 0\) per ogni \(y\in\mathbb R\). Appena questa condizione fallisce, potrebbe verificarsi un problema come nel controesempio di otta96.

[otta96]

@dissonance puoi spiegare come questo ci possa garantire che si possa estendere la funzione definita implicitamente? Perché a me sembra che questo non basti.

[dissonance]

E perché no? Dove non ti torna il discorso del mio post precedente?

[otta96]

Non capisco come si abbia la garanzia che si possa arrivare a $0$, mi spiego meglio sappiamo che $EE\delta_0>0|f$ è definita in $[3-\delta_0,3+\delta_0]$, sicuramente $F_y(3-\delta_0,f(3-\delta_0))!=0$, quindi $EE\delta_1$ tale che ecc. ecc.
A questo punto la funzione si può estendere all'unione di tutti gli intervalli in cui l'abbiamo definita via via, però questo non è detto che arrivi ad includere lo $0$, potrebbero infatti essere $[2+1/n,3+\delta_0]$, la cui unione è $(2,3+\delta_0)$.
Così è come l'ho capito io, ma mi sta venendo il dubbio che non ho proprio capito cosa stavi dicendo perché ho l'impressione di starmi perdendo in un bicchier d'acqua.